2023年华大新高考联盟名校高考预测卷（冲刺版）

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2023年华大新高考联盟名校高考预测卷（冲刺版）

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 若集合

A = {x ∣ 3 x^{2} - 5 x - 8 < 0}, B = {y ∣ y = x^{2} - 4 x + 5}

, 则

A \cap B =

A.

[- 1, 1)

B.

[1, \frac{8}{3})

C.

(- 1, \frac{8}{3})

D.

(1, \frac{8}{3})

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2. 为了迎接学校即将到来的某项活动, 某班组织学生进行卫生大扫除, 班主任将班级中的 9 名同学平均分配到三个包干区 (编号 1、2、3) 进行卫生打扫, 其中甲同学必须打扫 1 号包于区, 则不同的分配方法有

A.

560 种

B.

280 种

C.

840 种

D.

1120 种

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3. 设

m \in R

, 则 “

m = 2

” 是 “

\frac{3 + m^{2} i}{2 - i} + m (\frac{1}{5} + \frac{i}{5}) (3 + 4 i)

为纯虚数”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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4. 已知函数

f (x) = x^{α}, g (x) = x^{β}

, 其中

x \in [0, + \infty), 0 < a < 1, β > 1

, 若点

M (\frac{1}{2}, f (\frac{1}{2})), N (\frac{1}{4}, f (\frac{1}{4}))

P (\frac{1}{2}, g (\frac{1}{2})), Q (\frac{1}{4}, g (\frac{1}{4}))

满足

| M P | = | N Q |

, 则

A.

4^{α} - 4^{β} = 2^{a + β}

B.

4^{a} + 4^{β} = 2^{a - β}

C.

2^{α} - 2^{β} = 2^{α + β}

D.

2^{α} + 2^{β} = 2^{α + β}

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5. 已知首项为 3 的数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 若

a_{n} S_{n + 1} + 2 = a_{n} (S_{n} + 2)

, 则

S_{2023} =

A.

1435

B.

1436

C.

\frac{8603}{6}

D.

\frac{4307}{3}

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6. 已知菱形

A B C D

的边长为 4 , 点

E, F

分别是线段

C D, A D

上靠近点

D, A

的三等分点, 若

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8

, 则

\vec{A E} \cdot \vec{B F} =

A.

\frac{64}{9}

B.

- \frac{64}{9}

C.

\frac{16}{3}

D.

- \frac{16}{3}

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7. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2^{x} + 2} + \frac{2}{4^{z} - 4} + 1 + \frac{1}{x - 1}

, 则不等式

f (2 x + 3) > f (x^{2})

的解集为

A.

(- 2, 1) \cup (1, + \infty)

B.

(- 1, 1) \cup (3, + \infty)

C.

(- \frac{1}{2}, 1) \cup (3, + \infty)

D.

(- 3, 1) \cup (3, + \infty)

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8. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 点

M, N

在双曲线

C

上,

P (- a, 0)

. 若

△ P M N

为等边三角形, 且

| P F_{2} | = | F_{2} M | = | F_{2} N |

, 则双曲线

C

的浙近线方程为

A.

y = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} x

B.

y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} x

C.

y = \pm x

D.

y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} x

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 已知在边长为 2 的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中, 点

M

在线段

B_{1} D_{1}

上 (含端点位置), 现有如下说法: (1)

C M / /

平面

A_{1} B D

; (2)

C M ⊥ A C_{1}

; (3) 点

M

到平面

A B C_{1} D_{1}

的距离的最大值为

1; (4) △ A_{1} B D

为等边三角形. 则正确的说法个数为

A.

B.

C.

D.

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10. 已知正数

a, b, c

满足

a, b, c \neq 1, a < b < c

, 且

a + b = c

, 记

m = \log_{c} (a^{x} + b^{x}), n = \log_{b} (c^{x} - a^{x})

, 则下列说法正确的是

A.

若

a, b, c \in (1, + \infty)

, 则

\forall x \in (1, + \infty)

, 都有

m < n < x

B.

若

a, b, c \in (1, + \infty)

, 则

\forall x \in (0, 1)

, 都有

n < x < m

C.

若

a, b, c \in (1, + \infty)

, 则

\forall x \in (0, + \infty)

, 都有

| m - x | ⩽ | n - x | ⩽ | m - n |

D.

若

a, b, c \in (0, 1)

, 则

\forall x \in [1, + \infty)

, 都有

| n - x | ⩽ | m - x | ⩽ | m - n |

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11. 已知函数

f (x) = \sin (x - \frac{π}{4}) \cdot | \sin x + \cos x |

, 则下列说法正确的是

A.

函数

f (x)

的最小正周期为

2 π

B.

函数

f (x)

在

[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]

上单调递減

C.

若

f (x_{1}) + f (x_{2}) = - \sqrt{2}

, 则

x_{1} + x_{2}

的值可以是

\frac{3 π}{2}

D.

函数

g (x) = 4 f (x) - x

有 4 个零点

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12. 已知

λ > 0

, 若关于

x

的方程

\frac{e^{x - 1}}{x} - λ x + λ \ln (λ x) = 0

存在正零点, 则实数

λ

的值可能为

A.

\frac{1}{e}

B.

\frac{1}{2}

C.

e

D.

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 为了反映城市的人口数量

x

与就业压力指数

y

之间的变量关系, 研究人员选择使用非线性回归模型

y = e^{- \frac{9}{10}} \cdot e^{\frac{7}{10} x}

对所测数据进行拟合, 并设

z = \ln y

, 得到的数据如表所示, 则

c =

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14. 若

3^{q} + λ \cdot 3^{- q} ⩾ 3

, 则当

λ

取得最小值时,

q =

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15. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积. 当我们垂直地缩小一个圆时, 我们得到一个椭圆. 椭圆的面积等于圆周率

π

与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

(a > b > 0)

的面积为

21 π

, 点

P

在椭圆

C

上, 且点

P

与椭圆

C

左、生顶点连线的斜率之积为

- \frac{9}{49}

, 记椭圆

C

的两个焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 则

| P F_{1} |

的值可能为 . (横线上写出满足条件的一个值)

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16. 已知在四面体

A B C D

中,

A B = A C = B C = B D = C D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} A D = 2

, 点

E

在

△ A B C

内运动 (含边界位置), 记平面

A B C

与平面

B C D

所成的角为

α

, 若

4 S_{△ A D E} \cdot \sin α = 3 S_{△ K C E} \cdot \sin ∠ D A E

, 则

S_{△ M E E}

的最大值为

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 其中

\tan 2 C = \frac{3}{4}, C

为钝角, 且

\frac{b}{a} \cos A = 2 \cos B

.
(1) 求角

B

的大小;
(2)若

△ A B C

的面积为 6 , 求

△ A B C

的周长.

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18. 已知直三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

如图所示, 其中

∠ C A B = 45^{\circ}, C A = A A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} A B

, 点

D

在线段

B_{1} C

上 (不含端点位置).
(1) 若

B_{1} D = 2 C D = 2 \sqrt{2}

, 求点

A_{1}

到平面

A B D

的距离;
(2) 若平润

A B D

与平面

A B C

夹角的余弦值为

\frac{1}{3}

, 求直线

A_{1} D

与平面

A B D

所成角的正弦值.

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19. 在数学研究性学习课程上, 老师和班级同学玩了一个游戏. 老师事先准备 3 张一模一样的卡片, 编号为

1 、 2 、 3

后, 放人一个不透明的袋子中, 再准备若干枚 1 元硬币与 5 角硬币和一个储蓄罐; 然后邀请同学从袋子中有放回地抽取 1 张卡片, 若抽到的卡片编号为 1 或 2 , 则将 1 枚 1 元硬币放入储蓄罐中, 若抽到的卡片编号为 3 , 则将 2 枚 5 角硬币放入储蓄罐中, 如此重复

k

次试验后, 记储蓄罐中的硬币总数量为

S_{k}

.
(1) 若

k = 4

, 求

S_{k} > 5

的概率;
(2) 若

k = 5

, 记第

n (n = 1, 2, 3, 4, 5)

次抽卡且放置硬币后, 5 角硬币的数量为

X_{n}, 1

元硬币的数量为

Y_{n}

, 求在

S_{5} ⩾ 7

的条件下

X_{n} = Y_{n}

的概率.

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20. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

a_{n} = \frac{S_{n} + 1}{2}

, 首项为 1 的正项数列

{b_{n}}

满足

b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{3} \dots \cdot b_{n} =

{(a_{n} \cdot b_{m})}^{n}

.
(1) 求数列

{a_{n}}, {b_{n}}

的通项公式;
(2) 求数列

{(2 n - 1) b_{n}}

的前

n

项和

T_{n}

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21. 已知圆

C_{1}

过点

(- 3, 0), (- 1, 2), (1, 0)

, 抛物线

C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)

过点

A (\frac{1}{4}, 1)

.
(1) 求圆

C_{1}

的方程以及抛物线

C_{2}

的方程;
(2) 过点

A

作抛物线

C_{2}

的切线

l

与圆

C_{1}

交于

P, Q

两点, 点

B

在圆

C_{1}

上, 且直线

B P, B Q

均为抛物线

C_{2}

的切线, 求满足条件的所有点

B

的坐标.

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22. 已知函数

f (x) = e^{x} - a x^{2}

.
(1) 若函数

f (x)

在

[1, 3]

上有两个零点, 求实数

a

的取值范围.
(2)探究: 是否存在正数

a

, 使得

F (x) = f (x) + a \sin x - (1 + a) x

在

R

上单调递增, 若存在, 求出

a

的值; 若不存在, 请说明理由.

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