已知正数 $a, b, c$ 满足 $a, b, c \neq 1, a < b < c$, 且 $a+b=c$, 记 $m=\log _c\left(a^x+b^x\right), n=\log _b\left(c^x-a^x\right)$, 则下列说法 正确的是
$\text{A.}$ 若 $a, b, c \in(1,+\infty)$, 则 $\forall x \in(1,+\infty)$, 都有 $m < n < x$
$\text{B.}$ 若 $a, b, c \in(1,+\infty)$, 则 $\forall x \in(0,1)$, 都有 $n < x < m$
$\text{C.}$ 若 $a, b, c \in(1,+\infty)$, 则 $\forall x \in(0,+\infty)$, 都有 $|m-x| \leqslant|n-x| \leqslant|m-n|$
$\text{D.}$ 若 $a, b, c \in(0,1)$, 则 $\forall x \in[1,+\infty)$, 都有 $|n-x| \leqslant|m-x| \leqslant|m-n|$