单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-4 x+3 < 0\right\}, B=\left\{y \mid y=\left(\frac{1}{2}\right)^{-x^2-1}\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $[2,3)$
$\text{B.}$ $(1,3)$
$\text{C.}$ $[2,+\infty)$
$\text{D.}$ $(3,+\infty)$
设 $z$ 是纯虚数, 若 $\frac{3+z}{1+\mathrm{i}}$ 是实数, 则 $z$ 的虚部为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)-\cos (\omega x+\varphi)(\omega>0,|\varphi| < \pi)$, 则 “函数 $f(x)$ 是偶函数” 是 $“ \varphi=-\frac{\pi}{3} ”$ 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
若圆 $(x-a)^2+(y-3)^2=20$ 上有四个点到直线 $2 x-y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{5}$, 则实数 $a$ 的取值范 围是
$\text{A.}$ $\left(-\infty,-\frac{13}{2}\right) \cup\left(\frac{17}{2},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\frac{13}{2}, \frac{17}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{7}{2},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right)$
若 $7^n+C_{n+1}^1 7^{n-1}+\cdots+C_{n+1}^{n-1} 7+C_{n+1}^n$ 是 9 的倍数, 则自然数 $n$ 为
$\text{A.}$ 4 的倍数
$\text{B.}$ 3 的倍数
$\text{C.}$ 奇数
$\text{D.}$ 偶数
现将 0-9 十个数字填入右方的金字塔中, 要求每个数字都使用一 次, 第一行的数字中最大的数字为 $a$, 第二行的数字中最大的数字 为 $b$, 第三行的数字中最大的数字为 $c$, 第四行的数字中最大的数 字为 $d$, 则满足 $a < b < c < d$ 的填法的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{15}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{5}$
在矩形 $A B C D$ 中, 已知 $A B=2 A D=4, E$ 是 $A B$ 的中点, 将 $\triangle A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $\triangle A_1 D E$, 连接 $A_1 C$. 当二面角 $A_1-D E-C$ 的平面角的大小为 $60^{\circ}$ 时, 则三棱雉 $A_1-C D E$ 外接 球的表面积为
$\text{A.}$ $\frac{56 \pi}{3}$
$\text{B.}$ $18 \pi$
$\text{C.}$ $19 \pi$
$\text{D.}$ $\frac{53 \pi}{3}$
已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$, 若集合 $A=\left\{x \mid 2 x^2 < \log _a x\right\}, B=\left\{x \mid y=\ln x+\ln \left(\frac{1}{2}-x\right)\right\}$, 且 $A \subsetneq B$, 则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{4}\right) \cup\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{4 c}}\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{4}\right) \cup\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{4 e}},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{2 e}}\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{4}, 1\right) \cup\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{2 e}},+\infty\right)$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
设 $a>0, b>0$, 满足 $3 a+2 b=1$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{24}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值为 $8 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $a^2+b^2$ 的最小值为 $\frac{1}{13}$
$\text{D.}$ $9 a^2+4 b^2$ 的最小值为 1
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 满足 $a_1+a_2+a_3=21, S_5=25$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ $a_n=2 n+3$
$\text{B.}$ $S_n=-n^2+10 n$
$\text{C.}$ $\left\{S_n\right\}$ 的最大值为 $S_5$
$\text{D.}$ $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 10 项和为 $-\frac{10}{99}$
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$, 已知 $b=4, c=6, \triangle A B C$ 的面积 $S$ 满足 $(b+c)^2=(4 \sqrt{3}+8) S+a^2$, 点 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, 满足 $\overrightarrow{A O}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$, 则下列结论正 确的是
$\text{A.}$ $S=6$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{A O}=10$
$\text{C.}$ $|\overrightarrow{A O}|=\frac{2 \sqrt{21}}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=2-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
已知 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{9 y^2}{4}=1$ 上两个不同点, 且满足 $x_1 x_2+9 y_1 y_2=-2$, 则下 列说法正确的是
$\text{A.}$ $\left|2 x_1+3 y_1-3\right|+\left|2 x_2+3 y_2-3\right|$ 的最大值为 $6+2 \sqrt{5}$
$\text{B.}$ $\left|2 x_1+3 y_1-3\right|+\left|2 x_2+3 y_2-3\right|$ 的最小值为 $3-\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $\left|x_1-3 y_1+5\right|+\left|x_2-3 y_2+5\right|$ 的最大值为 $2 \sqrt{5}+\frac{2 \sqrt{10}}{5}$
$\text{D.}$ $\left|x_1-3 y_1+5\right|+\left|x_2-3 y_2+5\right|$ 的最小值为 $10-2 \sqrt{2}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知点 $M$ 为抛物线 $y^2=8 x$ 上的动点, 点 $N$ 为圆 $x^2+(y-4)^2=5$ 上的动点, 则点 $M$ 到 $y$ 轴的 距离与点 $M$ 到点 $N$ 的距离之和最小值为
已知 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的偶函数, 函数 $h(x)=x^2 f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增, 则不等式 $(1-x)^2 f(1-x)-(3+x)^2 f(3+x)>0$ 的解集为
用 $0,1,2,3,4,5$ 这六个数字组成无重复数字的六位数, 要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇 数数字, 则符合要求的六位数的个数有 个.
若关于 $x$ 的不等式 $\mathrm{e}^x(2 k-x) < x+3$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 则整数 $k$ 的最大值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=\frac{4}{9},(3 n+9) \cdot(n+1)^2 a_{n+1}=(n+2)^3 a_n$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式:
(2) 设 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 证明: $S_n < \frac{5}{4}-\frac{2 n+5}{4 \cdot 3^n}$.
已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $2 b \cos A-a=2 c$.
(1) 求角 $B$;
(2) 设 $\angle A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D$, 若 $B D=2$, 求 $\triangle A B C$ 的面积的最小值.
如图所示, 在三棱雉 $A-B C D$ 中, 满足 $B C=C D=3 \sqrt{3}$, 点 $M$ 在 $C D$ 上, 且 $D M=5 M C, \triangle A B D$ 为边长为 6 的等边三角形, $E$ 为 $B D$ 的中点, $F$ 为 $A E$ 的三等分点, 且 $2 A F=F E$.
(1) 求证: $F M / /$ 面 $A B C$;
(2) 若二面角 $A-B D-C$ 的平面角的大小为 $\frac{2 \pi}{3}$, 求直线 $E M$ 与面 $A B D$ 所成角的正弦值.
为提高学生的数学应用能力和创造力, 学校打算开设 “数学建模” 选修课, 为了解学 生对 “数学建模” 的兴趣度是否与性别有关, 学校随机抽取该校 30 名高中学生进行问卷调查, 其中认为感兴趣的人数占 $70 \%$.
(1) 根据所给数据, 完成下面的 $2 \times 2$ 列联表, 并根据列联表判断是否有 $85 \%$ 的把握认为学生对
“数学建模” 选修课的兴趣度与性别有关?
若感兴趣的女生中恰有 4 名是高三学生, 现从感兴趣的女生中随机选出 3 名进行二次访谈, 记选出高三女生的人数为 $X$, 求 $X$ 的分布列与数学期望.
$$
\text { 附: } K^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \text {, 其中 } n=a+b+c+d \text {. }
$$
已知双曲线 $C$ 以 $2 x \pm \sqrt{5} y=0$ 为渐近线, 其上焦点 $F$ 坐标为 $(0,3)$.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 不平行于坐标轴的直线 $l$ 过 $F$ 与双曲线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, $P Q$ 的中垂线交 $y$ 轴于点 $T$, 问 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 是否为定值, 若是, 请求出定值, 若不是, 请说明理由.
设 $f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^x}(x \in \mathbf{R})$.
(1) 求 $f(x)$ 的单调性, 并求 $f(x)$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 处的切线方程;
(2) 若 $(\mathrm{e} x) \cdot f(x) \leq k \cdot(\ln x+1)$ 在 $x \in(1,+\infty)$ 上恒成立, 求 $k$ 的取值范围.