2023年3月中学生标准学术能力（THUSSAT）高三下学期诊断性测试数学试卷

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2023年3月中学生标准学术能力（THUSSAT）高三下学期诊断性测试数学试卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 < 0}, B = {y ∣ y = {(\frac{1}{2})}^{- x^{2} - 1}}

, 则

A \cap B =

A.

[2, 3)

B.

(1, 3)

C.

[2, + \infty)

D.

(3, + \infty)

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2. 设

z

是纯虚数, 若

\frac{3 + z}{1 + i}

是实数, 则

z

的虚部为

A.

-3

B.

-1

C.

D.

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3. 已知函数

f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) - \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < π)

, 则 “函数

f (x)

是偶函数” 是

“ φ = - \frac{π}{3} ”

的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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4. 若圆

(x - a)^{2} + (y - 3)^{2} = 20

上有四个点到直线

2 x - y + 1 = 0

的距离为

\sqrt{5}

, 则实数

a

的取值范围是

A.

(- \infty, - \frac{13}{2}) \cup (\frac{17}{2}, + \infty)

B.

(- \frac{13}{2}, \frac{17}{2})

C.

(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{2}, + \infty)

D.

(- \frac{3}{2}, \frac{7}{2})

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5. 若

7^{n} + C_{n + 1}^{1} 7^{n - 1} + \dots + C_{n + 1}^{n - 1} 7 + C_{n + 1}^{n}

是 9 的倍数, 则自然数

n

为

A.

4 的倍数

B.

3 的倍数

C.

奇数

D.

偶数

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6. 现将 0-9 十个数字填入右方的金字塔中, 要求每个数字都使用一次, 第一行的数字中最大的数字为

a

, 第二行的数字中最大的数字为

b

, 第三行的数字中最大的数字为

c

, 第四行的数字中最大的数字为

d

, 则满足

a < b < c < d

的填法的概率为

A.

\frac{1}{10}

B.

\frac{1}{5}

C.

\frac{2}{15}

D.

\frac{2}{5}

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7. 在矩形

A B C D

中, 已知

A B = 2 A D = 4, E

是

A B

的中点, 将

△ A D E

沿直线

D E

翻折成

△ A_{1} D E

, 连接

A_{1} C

. 当二面角

A_{1} - D E - C

的平面角的大小为

60^{\circ}

时, 则三棱雉

A_{1} - C D E

外接球的表面积为

A.

\frac{56 π}{3}

B.

18 π

C.

19 π

D.

\frac{53 π}{3}

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8. 已知

a > 0

且

a \neq 1

, 若集合

A = {x ∣ 2 x^{2} < \log_{a} x}, B = {x ∣ y = \ln x + \ln (\frac{1}{2} - x)}

, 且

A ⊊ B

, 则实数

a

的取值范围是

A.

(0, \frac{1}{4}) \cup (1, e^{\frac{1}{4 c}}]

B.

(0, \frac{1}{4}) \cup [e^{\frac{1}{4 e}}, + \infty)

C.

(\frac{1}{4}, 1) \cup (1, e^{\frac{1}{2 e}}]

D.

(\frac{1}{4}, 1) \cup [e^{\frac{1}{2 e}}, + \infty)

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 设

a > 0, b > 0

, 满足

3 a + 2 b = 1

, 下列说法正确的是

A.

a b

的最大值为

\frac{1}{24}

B.

\frac{2}{a} + \frac{1}{b}

的最小值为

8 \sqrt{3}

C.

a^{2} + b^{2}

的最小值为

\frac{1}{13}

D.

9 a^{2} + 4 b^{2}

的最小值为 1

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10. 已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 满足

a_{1} + a_{2} + a_{3} = 21, S_{5} = 25

, 下列说法正确的是

A.

a_{n} = 2 n + 3

B.

S_{n} = - n^{2} + 10 n

C.

{S_{n}}

的最大值为

S_{5}

D.

{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}

的前 10 项和为

- \frac{10}{99}

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11. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

所对边的长分别为

a, b, c

, 已知

b = 4, c = 6, △ A B C

的面积

S

满足

(b + c)^{2} = (4 \sqrt{3} + 8) S + a^{2}

, 点

O

为

△ A B C

的外心, 满足

\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}

, 则下列结论正确的是

A.

S = 6

B.

\vec{C B} \cdot \vec{A O} = 10

C.

| \vec{A O} | = \frac{2 \sqrt{21}}{3}

D.

λ = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{3}

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12. 已知

P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})

是椭圆

\frac{x^{2}}{4} + \frac{9 y^{2}}{4} = 1

上两个不同点, 且满足

x_{1} x_{2} + 9 y_{1} y_{2} = - 2

, 则下列说法正确的是

A.

| 2 x_{1} + 3 y_{1} - 3 | + | 2 x_{2} + 3 y_{2} - 3 |

的最大值为

6 + 2 \sqrt{5}

B.

| 2 x_{1} + 3 y_{1} - 3 | + | 2 x_{2} + 3 y_{2} - 3 |

的最小值为

3 - \sqrt{5}

C.

| x_{1} - 3 y_{1} + 5 | + | x_{2} - 3 y_{2} + 5 |

的最大值为

2 \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{10}}{5}

D.

| x_{1} - 3 y_{1} + 5 | + | x_{2} - 3 y_{2} + 5 |

的最小值为

10 - 2 \sqrt{2}

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知点

M

为抛物线

y^{2} = 8 x

上的动点, 点

N

为圆

x^{2} + (y - 4)^{2} = 5

上的动点, 则点

M

到

y

轴的距离与点

M

到点

N

的距离之和最小值为

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14. 已知

f (x)

为

R

上的偶函数, 函数

h (x) = x^{2} f (x)

在

[0, + \infty)

上单调递增, 则不等式

(1 - x)^{2} f (1 - x) - (3 + x)^{2} f (3 + x) > 0

的解集为

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15. 用

0, 1, 2, 3, 4, 5

这六个数字组成无重复数字的六位数, 要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字, 则符合要求的六位数的个数有个.

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16. 若关于

x

的不等式

e^{x} (2 k - x) < x + 3

对任意的

x \in (0, + \infty)

恒成立, 则整数

k

的最大值为

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 在数列

{a_{n}}

中,

a_{1} = \frac{4}{9}, (3 n + 9) \cdot (n + 1)^{2} a_{n + 1} = (n + 2)^{3} a_{n}

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式:
(2) 设

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 证明:

S_{n} < \frac{5}{4} - \frac{2 n + 5}{4 \cdot 3^{n}}

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18. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

2 b \cos A - a = 2 c

.
(1) 求角

B

;
(2) 设

∠ A B C

的角平分线

B D

交

A C

于点

D

, 若

B D = 2

, 求

△ A B C

的面积的最小值.

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19. 如图所示, 在三棱雉

A - B C D

中, 满足

B C = C D = 3 \sqrt{3}

, 点

M

在

C D

上, 且

D M = 5 M C, △ A B D

为边长为 6 的等边三角形,

E

为

B D

的中点,

F

为

A E

的三等分点, 且

2 A F = F E

.
(1) 求证:

F M / /

面

A B C

;
(2) 若二面角

A - B D - C

的平面角的大小为

\frac{2 π}{3}

, 求直线

E M

与面

A B D

所成角的正弦值.

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20. 为提高学生的数学应用能力和创造力, 学校打算开设 “数学建模” 选修课, 为了解学生对 “数学建模” 的兴趣度是否与性别有关, 学校随机抽取该校 30 名高中学生进行问卷调查, 其中认为感兴趣的人数占

70 %

.
(1) 根据所给数据, 完成下面的

2 \times 2

列联表, 并根据列联表判断是否有

85 %

的把握认为学生对
“数学建模” 选修课的兴趣度与性别有关?

若感兴趣的女生中恰有 4 名是高三学生, 现从感兴趣的女生中随机选出 3 名进行二次访谈, 记选出高三女生的人数为

X

, 求

X

的分布列与数学期望.

附: K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, 其中 n = a + b + c + d .

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21. 已知双曲线

C

以

2 x \pm \sqrt{5} y = 0

为渐近线, 其上焦点

F

坐标为

(0, 3)

.
(1) 求双曲线

C

的方程;
(2) 不平行于坐标轴的直线

l

过

F

与双曲线

C

交于

P, Q

两点,

P Q

的中垂线交

y

轴于点

T

, 问

\frac{| T F |}{| P Q |}

是否为定值, 若是, 请求出定值, 若不是, 请说明理由.

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22. 设

f (x) = \frac{x}{e^{x}} (x \in R)

.
(1) 求

f (x)

的单调性, 并求

f (x)

在

x = \frac{1}{2}

处的切线方程;
(2) 若

(e x) \cdot f (x) \leq k \cdot (\ln x + 1)

在

x \in (1, + \infty)

上恒成立, 求

k

的取值范围.

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