已知双曲线 $C$ 以 $2 x \pm \sqrt{5} y=0$ 为渐近线, 其上焦点 $F$ 坐标为 $(0,3)$.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 不平行于坐标轴的直线 $l$ 过 $F$ 与双曲线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, $P Q$ 的中垂线交 $y$ 轴于点 $T$, 问 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 是否为定值, 若是, 请求出定值, 若不是, 请说明理由.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$