单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $M=\{x \mid \lg (x-1) \leqslant 0\}, N=\{x| | x-1 \mid < 1\}$ ，则 $M \cap N=$（ ）
$\text{A.}$ $(0,2]$
$\text{B.}$ $(0,2)$
$\text{C.}$ $(1,2)$
$\text{D.}$ $(1,2]$
已知点 $P(x, y)$ 满足 $\sqrt{(x-1)^2+y^2}=|x+1|, Q(4,0)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ 4
如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 2 cm ，取正方形 $A B C D$ 各边的中点 $E, F, G, H$ ，作第 2 个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的中点 $I, J, K, L$ ，作第 3 个正方形 $I J K L$ ，依此方法一直继续下去．则所有的正方形面积和将趋近于
$\text{A.}$ 32
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 以上 $A, B, C$ 都不正确
将 $2 N$ 项数列 $\left(a_1, a_2 \cdots, a_N, b_1, b_2, \cdots, b_N\right)$ 重新排序为 $\left(b_1, a_1, b_2, a_2, \cdots, b_N, a_N\right)$ 的操作称为一次＂洗牌＂，即排序后的新数列以 $b_1$ 为首项，将 $a_i$ 排在 $b_i$ 之后，将 $b_{i+1}$ 排在 $a_i$ 之后．例如，当 $N=3$ 时，数列 $(1,2,3$ ， $4,5,6$ ）经过一次＂洗牌＂后变为 $(4,1,5,2,3,6)$ ．则数列 $(1,2,3,4,5,6,7,8)$ 经过 3 次＂洗牌＂后得到的新数列是
$\text{A.}$ $8,7,6,5,4,3,2,1$
$\text{B.}$ $1,2,3,4,5,6,7,8$
$\text{C.}$ $2,4,6,8,1,3,5,7$
$\text{D.}$ $1,3,5,7,2,4,6,8$
如图，已知平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 1 的正方形，$A A_1=2, \angle A_1 A B =\angle A_1 A D=120^{\circ}$ ，则线段 $A C_1$ 的长为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 $a_1$ ，对于任意的 $n \in N^*$ 都有 $a_{n+2}-a_n=1$ ，则＂$\left\{a_n\right\}$ 为单调递增的数列＂是 ＂$a_1 < a_2 < a_3 < a_4$＂的
$\text{A.}$ 必要不充分条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知圆 $C: x^2-2 x+y^2=0$ 与直线 $l: y=m x+2 m(m>0)$ ，过 $l$ 上任意一点 $P$ 向圆 $C$ 引切线，切点为 $A$ 和 $B$ ，若线段 $A B$ 长度的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{14}}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{14}}{2}$
已知 $\triangle A B C$ 面积为 1 ，边 $A C$ 上的中线为 $B D$ ，边 $A B$ 上的中线为 $C E$ ，且 $B D=\frac{4}{3} C E$ ，则边 $A C$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{11}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{10}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{13}}{3}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知抛物线 $C: y^2=2 x$ 的准线为 $l$ ，直线 $x=m y+n$ 与 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，$M$ 为 $A B$ 的中点，则
$\text{A.}$ 当 $n=\frac{1}{2}$ 时，以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相交
$\text{B.}$ 当 $n=2$ 时，以 $A B$ 为直径的圆经过原点 $O$
$\text{C.}$ 当 $|A B|=4$ 时，点 $M$ 到 $l$ 的距离的最小值为 2
$\text{D.}$ 当 $|A B|=1$ 时，点 $M$ 到 $l$ 的距离无最小值
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=2, a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ ．记 $A_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}, B_n=\frac{1}{a_1} \cdot \frac{1}{a_2} \cdots \cdots \frac{1}{a_n}$ 则正确的结论是
$\text{A.}$ $a_n>0$
$\text{B.}$ $a_{n+1}>a_n$
$\text{C.}$ $A_{2025}-B_{2025}>\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $A_{2025}-B_{2025} < \frac{1}{2}$
在直角坐标系 $x O y$ 中，$T(m, n)$ 是曲线 $C: x^2=2 x y+2$ 上任意一点，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 曲线 $C$ 关于原点对称
$\text{B.}$ 任意 $k \geqslant \frac{1}{2}$ ，直线 $y=k x$ 与曲线 $C$ 都没有公共点
$\text{C.}$ $O$ 为坐标原点，$|O T| \geqslant \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 曲线的离心率 $\mathrm{e}=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知锐角 $\alpha$ 满足 $\sin \alpha=\frac{4}{5}$ ，则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
已知圆 $C: x^2-2 x+y^2-3=0$ ，过点 $T(2,0)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $P$ 在圆 $C$ 上，若 $C P / / A B, \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\frac{1}{2}$ ，则 $|A B|=$
已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 上异于左右顶点的一点，设 $\angle P F_1 F_2=\alpha, \angle P F_2 F_1=\beta, \angle F_2 P F_1=\gamma$ ，则 $\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma$ 的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
欧拉函数 $\varphi(n)\left(n \in N^*\right)$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$ ，且与 $n$ 互质的正整数的个数．例如： $\varphi(1)=1, \varphi(3)=2, \varphi(4)=2, \varphi(5)=4$ ，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如： 2 和 3,2 的因 数 1 和 2,3 的 因 数 1 和 3 ，所以 2 和 3 互质； 5 和 7 也是互质的．
（1）求 $\varphi\left(3^2\right), \varphi\left(3^3\right)$ ；
（2）猜测 $\varphi\left(3^n\right)$ 的值（不要求证明）；
（3）令 $a_n=\frac{3}{2} \varphi\left(3^n\right)$ ，求数列 $\left\{\frac{\log _3 a_n}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
如图，矩形 $A B C D$ 中，$|A B|=4,|B C|=2 . A_1 、 B_1 、 A_2 、 B_2$ 分别是矩形四条边的中点，设 $\overrightarrow{O R}=$
$$
\lambda \overrightarrow{O A_2}, \overrightarrow{A_2 T}=(1-\lambda) \overrightarrow{A_2 C}(0 < \lambda < 1)
$$
（1）证明：直线 $B_1 R$ 与 $B_2 T$ 的交点 $M$ 在椭圆 $K: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上；
（2）已知 $P Q$ 为过椭圆 $K$ 的右焦点 $F$ 的弦，直线 $M O$ 与椭圆 $K$ 的另一交点为 $N$ ，若 $M N / / P Q$ ，试判断 $|P Q| 、|M N| 、\left|A_1 A_2\right|$ 是否成等比数列，请说明理由．
已知点 $P_1(t+1, t)$ 在抛物线 $C: x^2=4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_n(n=2,3,4 \cdots)$ ，过点 $P_{n-1}$ 作斜率为 -1 的直线与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q_{n-1}$ ，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n, y_n\right)$.
（1）求 $t$ 的值；
（2）求证：数列 $\left\{x_n\right\}$ 是等差数列，并求 $x_n, y_n$ ；
（3）求 $\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积．
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=B C=2, \angle A B C=120^{\circ}, \overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A C}, \lambda \in(0,1)$ ，将点 $A$ 沿 $B D$ 折起到点 $P$的位置，点 $E$ 为 $P C$ 的中点，点 $G$ 为 $\triangle B C D$ 的重心．
（1）求证：$E G$ 不平行于平面 $P B D$ ；
（2）若 $\lambda=\frac{1}{3}$ ，平面 $P B D \perp$ 平面 $B C D$ ，求二面角 $B-P C-D$ 的正弦值．
已知双曲线 $C$ 的虚轴长为 2 ，其中一条渐近线方程为 $y=\frac{1}{2} x$ ．且 $M, N$ 分别是双曲线的左、右顶点．
（1）求双曲线 $C$ 的方程；
（2）设过点 $G(4,0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C$ 右支于 $A, B$ 两点，若直线 $A M, B N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ．
① 试探究 $k_1$ 与 $k_2$ 的比值 $\frac{k_1}{k_2}$ 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
② 设 $\angle A N G=\alpha, \angle B N G=\beta, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ ，若 $\tan \theta=\frac{1}{7}, \alpha=\beta-\theta\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $\triangle B G N$ 的面积．
