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已知圆 $C: x^2-2 x+y^2-3=0$ ，过点 $T(2,0)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，点 $P$ 在圆 $C$ 上，若 $C P / / A B, \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\frac{1}{2}$ ，则 $|A B|=$
                        
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