已知点 $P_1(t+1, t)$ 在抛物线 $C: x^2=4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_n(n=2,3,4 \cdots)$ ，过点 $P_{n-1}$ 作斜率为 -1 的直线与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q_{n-1}$ ，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n, y_n\right)$.
（1）求 $t$ 的值；
（2）求证：数列 $\left\{x_n\right\}$ 是等差数列，并求 $x_n, y_n$ ；
（3）求 $\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积．