如图，矩形 $A B C D$ 中，$|A B|=4,|B C|=2 . A_1 、 B_1 、 A_2 、 B_2$ 分别是矩形四条边的中点，设 $\overrightarrow{O R}=$

$$
\lambda \overrightarrow{O A_2}, \overrightarrow{A_2 T}=(1-\lambda) \overrightarrow{A_2 C}(0 < \lambda < 1)
$$


（1）证明：直线 $B_1 R$ 与 $B_2 T$ 的交点 $M$ 在椭圆 $K: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上；
（2）已知 $P Q$ 为过椭圆 $K$ 的右焦点 $F$ 的弦，直线 $M O$ 与椭圆 $K$ 的另一交点为 $N$ ，若 $M N / / P Q$ ，试判断 $|P Q| 、|M N| 、\left|A_1 A_2\right|$ 是否成等比数列，请说明理由．