如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=B C=2, \angle A B C=120^{\circ}, \overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A C}, \lambda \in(0,1)$ ，将点 $A$ 沿 $B D$ 折起到点 $P$的位置，点 $E$ 为 $P C$ 的中点，点 $G$ 为 $\triangle B C D$ 的重心．
（1）求证：$E G$ 不平行于平面 $P B D$ ；
（2）若 $\lambda=\frac{1}{3}$ ，平面 $P B D \perp$ 平面 $B C D$ ，求二面角 $B-P C-D$ 的正弦值．