已知双曲线 $C$ 的虚轴长为 2 ，其中一条渐近线方程为 $y=\frac{1}{2} x$ ．且 $M, N$ 分别是双曲线的左、右顶点．
（1）求双曲线 $C$ 的方程；
（2）设过点 $G(4,0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C$ 右支于 $A, B$ 两点，若直线 $A M, B N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$ ．
① 试探究 $k_1$ 与 $k_2$ 的比值 $\frac{k_1}{k_2}$ 是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
② 设 $\angle A N G=\alpha, \angle B N G=\beta, 0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ ，若 $\tan \theta=\frac{1}{7}, \alpha=\beta-\theta\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $\triangle B G N$ 的面积．