解答题 （共 24 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记四阶行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x-2 & x-1 & x-2 & x-3 \\
2 x-2 & 2 x-1 & 2 x-2 & 2 x-3 \\
3 x-3 & 3 x-2 & 4 x-5 & 3 x-5 \\
4 x & 4 x-3 & 5 x-7 & 4 x-3
\end{array}\right|
$$
为 $f(x)$ ，求函数 $f(x)$ 的全部零点．
计算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
\lambda & x & x & x & \cdots & x \\
y & \alpha & \beta & \beta & \cdots & \beta \\
y & \beta & \alpha & \beta & \cdots & \beta \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
y & \beta & \beta & \beta & \cdots & \alpha
\end{array}\right| .
$$
（大连理工大学，2004 年）计算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & \cdots & 1 & 2-n \\
1 & 1 & \cdots & 2-n & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & 2-n & \cdots & 1 & 1 \\
2-n & 1 & \cdots & 1 & 1
\end{array}\right| .
$$
计算
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \cdots & n-1 & n+x \\
1 & 2 & \cdots & (n-1)+x & n \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & 2+x & \cdots & n-1 & n \\
1+x & 2 & \cdots & n-1 & n
\end{array}\right) .
$$
（华东师范大学，2002年）计算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
x & 4 & 4 & \cdots & 4 \\
1 & x & 2 & \cdots & 2 \\
1 & 2 & x & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 2 & 2 & \cdots & x
\end{array}\right| .
$$
（东南大学，2000 年）求 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
2 a & a^2 & & & \\
1 & 2 a & a^2 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & 1 & 2 a & a^2 \\
& & & 1 & 2 a
\end{array}\right|
$$
（中国科学院，2006 年）已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 为实数，求
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
\alpha & \beta & & & \\
\gamma & \alpha & \beta & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \gamma & \alpha & \beta \\
& & & \gamma & \alpha
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$
的行列式的值．
（华中师范大学，1994 年）计算 $n+1$ 阶行列式
$$
D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc}
a & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a x & a & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
a x^2 & a x & a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a x^{n-1} & a x^{n-2} & a x^{n-3} & \cdots & a & -1 \\
a x^n & a x^{n-1} & a x^{n-2} & \cdots & a x & a
\end{array}\right| .
$$
南京大学，2015 年）计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$ ，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
1+a_1^2 & a_1 a_2 & \cdots & a_1 a_n \\
a_2 a_1 & 1+a_2^2 & \cdots & a_2 a_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_n a_1 & a_n a_2 & \cdots & 1+a_n^2
\end{array}\right) .
$$
计算
$$
\boldsymbol{A}_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1+a_2 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1+a_n
\end{array}\right|
$$
其中 $a_i \ne 0$
计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
a_1+b_1 c_1 & a_2+b_1 c_2 & \cdots & a_n+b_1 c_n \\
a_1+b_2 c_1 & a_2+b_2 c_2 & \cdots & a_n+b_2 c_n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_1+b_n c_1 & a_2+b_n c_2 & \cdots & a_n+b_n c_n
\end{array}\right|,$$
其中 $n > 3$
（深圳大学，2008 年）计算 $n$ 阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n \\
1 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 \\
1 & x & 1 & 2 & \cdots & n-2 \\
1 & x & x & 1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & x & x & x & \cdots & 1
\end{array}\right| .
$$
计算行列式：
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
a & b & c & d \\
-b & a & -d & c \\
-c & d & a & -b \\
-d & -c & b & a
\end{array}\right| .
$$
（湘潭大学，2006 年）计算 $n(n \geqslant 2)$ 阶行列式：
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
\sin \left(2 \alpha_1\right) & \sin \left(\alpha_1+\alpha_2\right) & \cdots & \sin \left(\alpha_1+\alpha_n\right) \\
\sin \left(\alpha_2+\alpha_1\right) & \sin \left(2 \alpha_2\right) & \cdots & \sin \left(\alpha_2+\alpha_n\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\sin \left(\alpha_n+\alpha_1\right) & \sin \left(\alpha_n+\alpha_2\right) & \cdots & \sin \left(2 \alpha_n\right)
\end{array}\right| .
$$
（中国科学技术大学，2011年；湖南师范大学，2011年）证明：$n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \cos \alpha & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha
\end{array}\right|=\cos n \alpha .
$$
计算
$$
D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc}
x & 1 & & & \\
n & x & 2 & & \\
& n-1 & x & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & n \\
& & & 1 & x
\end{array}\right|
$$
（南开大学，2002 年）计算行列式：
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \\
0 & -2 & -2 & \cdots & -2
\end{array}\right| .
$$
（山东大学，2006 年；南京理工大学，2006 年）计算 $n$ 阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \\
x_1^n & x_2^n & \cdots & x_n^n
\end{array}\right| .
$$
设四阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 0 & 1 & 8 \\
-2 & 1 & 4 & -7 \\
3 & 0 & 5 & -9 \\
a & b & c & d
\end{array}\right),
$$
而 $A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式 $(i, j=1,2,3,4)$ ．试计算：
（1） $2 A_{14}-2 A_{24}+3 A_{34}-3 A_{44}$ ；
（2）$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ ．
（云南大学，2010 年）设四阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{rrrr}
3 & -5 & 2 & d \\
a & b & c & d \\
a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
a^4 & b^4 & c^4 & d^4
\end{array}\right|,
$$
计算 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$ ，其中 $A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式．
（华中师范大学，1994 年）设 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1
\end{array}\right|,
$$
试求 $D_n$ 的展开式中正项的项数．
（中山大学，2008 年）求下列行列式：
$$
\sum_{j j_2 \cdots j_n}\left|\begin{array}{cccc}
a_{1 j_1} & a_{1 j_2} & \cdots & a_{1 j_n} \\
a_{2 j_1} & a_{2 j_2} & \cdots & a_{2 j_n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n j_1} & a_{n j_2} & \cdots & a_{n j_n}
\end{array}\right|,
$$
这里，$\Sigma$ 是对 $1,2, \cdots, n$ 的所有全排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$ 求和．
（中国科学院大学，2017年）计算行列式
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1-a_1 & a_2 & & & \\
-1 & 1-a_2 & a_3 & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & -1 & 1-a_{n-1} & a_n \\
& & & -1 & 1-a_n
\end{array}\right| .
$$
设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是正整数．证明：$n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\
1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}
\end{array}\right|
$$
能被 $1^{n-1} 2^{n-2} \cdots(n-2)^2(n-1)$ 整除．