（中国科学技术大学，2011年；湖南师范大学，2011年）证明：$n$ 阶行列式

$$
D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \cos \alpha & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha
\end{array}\right|=\cos n \alpha .
$$