单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 均为 $\mathbf{n}$ 阶矩阵, $\mathbf{E}$ 是 $\mathbf{n}$ 阶单位矩阵, 且 $\mathbf{A B C}=\mathbf{E}$, 则必有
$\text{A.}$ $\mathbf{A C B}=\mathbf{E}$;
$\text{B.}$ $\mathbf{B A C}=\mathbf{E}$;
$\text{C.}$ $\mathbf{C B A}=\mathbf{E}$;
$\text{D.}$ $\mathbf{B}^{-1}=\mathbf{CA}$.
$n$ 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\frac{1}{2}, 0, \ldots, 0, \frac{1}{2}\right), \mathbf{A}=\mathbf{E}-\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\alpha}, \mathbf{B}=\mathbf{E}+2 \boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\alpha}$, 则 $\mathbf{A B}=$
$\text{A.}$ $\mathbf{0}$
$\text{B.}$ $\mathbf{E}$
$\text{C.}$ $-\mathbf{E}$;
$\text{D.}$ $5\mathbf{E}$;
设矩阵 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶非零矩阵, 且 $\mathbf{B A}=\mathbf{O}$, 则以下结论正确的是
$\text{A.}$ $\mathbf{A}$ 的行向量组线性无关
$\text{B.}$ $\mathbf{B}$ 的行向量组线性无关
$\text{C.}$ $\mathbf{A}$ 的秩与 $\mathbf{B}$ 的秩之和等于 $n$
$\text{D.}$ $\mathbf{A}$ 的列向量是方程组 $\mathrm{Bx}=\mathbf{0}$ 的解
设矩阵 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 均为 $\mathrm{n}$ 阶实对称矩阵, 那么以下命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似, 则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 有相同的特征值
$\text{B.}$ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 等价
$\text{C.}$ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似, 则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 合同
$\text{D.}$ 若 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似, 则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 有相同的特征向量
设齐次线性方程组 $\mathbf{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解, 则
$\text{A.}$ $\mathbf{A}$ 的列向量组线性无关;
$\text{B.}$ $\mathrm{A}$ 的列向量组线性相关;
$\text{C.}$ $\mathbf{A}$ 的行向量组线性无关;
$\text{D.}$ $\mathbf{A}$ 的行向量组线性相关.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$, 将 $\mathbf{A}$ 的第 2 列的 3 倍加到第 1 列得到 $B$, 则 $|\mathbf{B}|=$
设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶方阵, 且 $|\mathbf{A}|=\frac{1}{2}, \mathbf{A}^*$ 是 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵, 则 $\left|\mathbf{A}^*+(2 \mathbf{A})^{-1}\right|=$
设矩阵 $\mathbf{B}$ 为 $4 \times 3$ 矩阵, 且 $\mathbf{B}$ 的秩为 2 , 已知 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & 1 & 4 \\ 1 & 8 & -1 & 8\end{array}\right]$, 则 $r(\mathbf{A B})=$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(0,2,1)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2=(1,3,2)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\alpha}_3=(0,-1,-1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\beta}_2=(1,0,0)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\beta}_3=(-1,1,-1)^{\mathrm{T}}$ 都是 $\mathbf{R}^3$ 的基, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵是
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3$, 则该二次型的正惯性指数为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
当 $\boldsymbol{a}$ 为何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 x_1+(a+4) x_2+10 x_3=4 \\ x_1+(a+2) x_2+7 x_3=3 \\ 3 x_1+(a+6) x_2+\left(a^2+a+13\right) x_3=a+6\end{array}\right.$
有唯一解、无解、无穷多解? 有无穷多解时求其通解.
设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 满足 $\mathbf{A}^2+\mathbf{A}=\mathrm{O}$, 求 $(\mathbf{A}+2 \mathbf{E})^{-1}$, 并找出 $\mathbf{A}$ 的特征 值.
已知下列向量组
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-2,2,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(t, 0,1,2)^{\mathrm{T}} \text {, }
$$
（1）若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关, 求 $t$ 的值;
（2）若 $t=3$, 求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的一个极大无关组.
用正交变换法化二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2{ }^2+x_3^2-2 a x_1 x_3(a>0)$
为标准形 $-y_1{ }^2+y_2{ }^2+b y_3{ }^2$, 求参数 $a$ 和 $b$, 并写出正交变换.
证明题
（1）（普通班必做）设 $\mathbf{A}$ 为 $\mathrm{n}$ 阶正交矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 均为 $\mathrm{n}$ 维列向量, 证明 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 正交的充要条件是 $\mathbf{A \alpha}$ 与 $\mathbf{A} \alpha_2$ 正交。
（2）(实验班必做）设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 均为 $\mathbf{n}$ 阶正定矩阵, $\mathrm{k}, \mathrm{u}$ 是正实数, 证明: 矩阵 $(\mathrm{kA}+u \mathrm{uB})^{-1}$ 为正定矩阵.
在钢板热传导的研究中, 常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设下图 中钢板已经达到稳态温度分布, 上下左右四个边界的温度值, $T_1, T_2, T_3, T_4$ 表示钢板内 部四个节点 $1,2,3,4$ 的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换, 那么内部某节点 温度值近似等于与它相邻四个节点温度的算术平均值, 如 $T_1=\left(10+20+T_2+T_3\right) / 4$ 。
(1) 试建立计算钢板 4 个节点温度值 $T_1, T_2, T_3, T_4$ 的线性方程组 $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$;
(2) 在 MATLAB 命令窗口输入:
$\mathbf{A}= , h=， x=$