单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=|x|^{1+\frac{1}{x}}$ 的渐近线条数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $y=f(x)$ 为周期为 2 的可导函数，则 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f\left(\frac{x^2+5}{2}\right)-f\left(-\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}\right)}{\ln x}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} f^{\prime}(-1)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} f^{\prime}(3)$
$\text{D.}$ $2 f^{\prime}(5)$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{2 n}(x-1)^{2 n}$ 在 $x=5$ 处条件收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2 n}^2(x-3)^{4 n+1}$ 的收敛区间为（ ）
$\text{A.}$ $(1,5)$
$\text{B.}$ $(-1,7)$
$\text{C.}$ $(-5,11)$
$\text{D.}$ $(-13,19)$
若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sin ^a\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cdot \cos ^{1-a}\left(\frac{\pi}{2} x\right)} d x$ 收敛，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $-1 < a < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1$
$\text{C.}$ $0 < a < 2$
$\text{D.}$ $-1 < a < 0$
设 $A , B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r( X )$ 为矩阵 $X$ 的秩，则下列不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $r\left(\begin{array}{lc} A & A B \\ O & A ^{ T } A \end{array}\right)=2 r( A )$
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{ll} A B & A \end{array}\right)=r\binom{ B A }{ A }$
$\text{C.}$ $r\left(\begin{array}{ll} A & A A ^{ T } \\ O & A ^{ T } A \end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc} A & O \\ A ^{ T } A & A A ^{ T }\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $r\left(\begin{array}{ll} A & A B \\ O & B A \end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc} A & O \\ B A & A B \end{array}\right)$
设向量组 $\alpha _1=\left(\begin{array}{l}a \\ 4 \\ 5 \\ 1\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{c}-a \\ 2 a+1 \\ b+2 \\ 2\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 6 \\ a-1\end{array}\right)$ 线性相关，其中 $a$ 为整数，则（ ）
$\text{A.}$ $a=1, b=2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-2$
$\text{C.}$ $a=-1, b=2$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-2$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$r( A )$ 为 $A$ 的秩，则
（1） $A$ 为实对称矩阵的充要条件是 $A$ 的不同特征值的特征向量相互正交；
（2）若 $A$ 为正定矩阵，则 $A$ 的对角线元素均大于零；
（3） $A A ^{ T }$ 与 $A ^{ T } A$ —定合同；
（4）若 $r( A )=1$ ，则一定存在一个正交矩阵 $Q$ ，满足 $A A ^{ T }= Q ^{ T } A ^{ T } A Q$ ．
以上说法正确的有（ ）个
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), Y \sim N\left(\mu, 2 \sigma^2\right)$ ，若 $E\left(a|X-Y|^3\right)=\frac{\sigma^3}{\sqrt{6 \pi}}$ ，则 $a=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{18}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{24}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{36}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}$ 为来自正态总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本，用切比雪夫不等式估计，$\forall \varepsilon>0$ ， $P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_{n+i}-X_i\right)^2-2\right| \geqslant \varepsilon\right\} \leqslant(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{8}{n \varepsilon^2}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{n \varepsilon^2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{n \varepsilon^2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n \varepsilon^2}$
设总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从标准正态分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别为来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_2^2=$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2$ ，则下列说法正确的有 $(\quad)$ 个
（1）$n\left(\bar{X}^2+\bar{Y}^2\right) \sim \chi^2(2)$
（2）$(n-1)\left(S_1^2+S_2^2\right) \sim \chi^2(2 n-2)$
（3）$\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, n-1)$
（4）$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}+\bar{Y})}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}} \sim t(2 n-2)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \int_0^{\frac{1}{n}} e ^{t^2} d t\right)^{n^2+n-\sin n}=$
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，且 $f(x)=2 x+1, x \in(0, \pi)$ ，若 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_{2 n+1}=$
曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2-3 x y z=3$ 在点 $(1,1,1)$ 处的法线方程为
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=x \sin x$ ，则 $\int_{-\pi}^\pi \frac{f(x) \cos ^2 x}{1+\cos ^2 x} d x=$
已知向量 $\alpha _1=\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right), \alpha _2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ b \\ 1\end{array}\right), \alpha _3=\left(\begin{array}{c}0 \\ c \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \beta =\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为正交向量组， $\gamma =k_1 \alpha _1+$ $k_2 \alpha _2+k_3 \alpha _3$ ，若 $( \gamma - \beta )^{ T } \alpha _i=0(i=1,2,3)$ ，则 $k_1+k_2+k_3=$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a \ln ^2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ EX 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{X < $ $E X\}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $\sin \left(x^2+y^2+z^2\right)$ 在约束条件 $2 z^2=x^2+y^2$ 和 $x+y+z=1$ 下的最大值和最小值．
设有微分方程 $y^{\prime}+\frac{2}{x} y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 具有连续的二阶导数，满足 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ， $y=y(x)$ 为该微分方程满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}=0$ 的解．
（ I ）证明： $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x^3}$ 存在；
（II）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x}$ 存在，证明：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $\Omega$ 是 $(x-z)^2+(y-\sin \pi z)^2=\sin \pi z, 0 \leqslant z \leqslant 1$ 所围的空间区域，现有一物体位于空间区域 $\Omega$ ，该物体在 $\Omega$ 内任何一点的密度与该点到 $x O y$ 平面的距离成正比，求该物体的质心坐标。
设 $f(x)$ 为连续的正值函数，满足 $\int_0^1 f(x) d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1 \sqrt{f(x)} d x \leqslant 1 \leqslant \int_0^1 f^2(x) d x$ ；
（II） $\int_0^1 \sqrt{f(x)} \sin x d x \cdot \int_0^1 \sqrt{f(x)} \cos x d x \leqslant \frac{1}{2}$ ．
设有矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}-2 & 3 & 2 \\ -4 & 5 & 2 \\ -2 & 2 & 3\end{array}\right)$ 与 $B =\left(\begin{array}{ccc}a-4 & 3-a & 2 \\ -4 & 3 & 2 \\ 2 a-2 & 2-2 a & 1\end{array}\right)$ ，其中 $a>0$ ，已知 $A$ 的特征向量一定是 $B$ 的特征向量，但 $B$ 的特征向量不一定是 $A$ 的特征向量，
（I）求 $a$ ；
（II）求可逆矩阵 $P$ 使得 $P ^{-1} B P$ 为对角矩阵，但 $P ^{-1} A P$ 不为对角矩阵．
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，其中 $X_1$ 服从标准正态分布，$X_2$ 的概率密度为 $f(x)=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x^3}, & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1,\end{array} X_3\right.$ 的概率分布为 $P\left\{X_3=-1\right\}=P\left\{X_3=0\right\}=P\left\{X_3=1\right\}=\frac{1}{3}, Y=$ $\left|\begin{array}{cc}X_1 & X_2 \\ X_3^2-1 & X_3\end{array}\right|$ ，又设 $\Phi(x)$ 表示标准正态分布的分布函数，
（I）求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ；
（II）求 $X_3^2$ 和 $Y$ 的联合分布函数 $F(x, y)$ ；
（III）求 $X_3^2$ 和 $Y$ 的协方差 $\operatorname{cov}\left(X_3^2, Y\right)$ ．