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设 $f(x)$ 为连续的正值函数，满足 $\int_0^1 f(x) d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1 \sqrt{f(x)} d x \leqslant 1 \leqslant \int_0^1 f^2(x) d x$ ；
（II） $\int_0^1 \sqrt{f(x)} \sin x d x \cdot \int_0^1 \sqrt{f(x)} \cos x d x \leqslant \frac{1}{2}$ ．
                        
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