设总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从标准正态分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别为来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本，记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_2^2=$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2$ ，则下列说法正确的有 $(\quad)$ 个
（1）$n\left(\bar{X}^2+\bar{Y}^2\right) \sim \chi^2(2)$
（2）$(n-1)\left(S_1^2+S_2^2\right) \sim \chi^2(2 n-2)$
（3）$\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, n-1)$
（4）$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}+\bar{Y})}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}} \sim t(2 n-2)$