单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\frac{\ln (1-a x)}{|x|}, & x \neq 0 \\ b, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$.
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$.
$\text{C.}$ $a=1, b=1$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$.
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$,
则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
设函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示, 则曲线 $y=$ $f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4} x F^{\prime}(2 x)+\frac{1}{2} F(2 x)+C$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{2} F(2 x)+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)+\frac{1}{4} F(2 x)+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{4} F(2 x)+C$.
由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(1,0,1)$ 处的全微分 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\text {(1.0.1) }}=$
$\text{A.}$ $-\mathrm{d} x-\sqrt{2} \mathrm{~d} y$.
$\text{B.}$ $-\mathrm{d} x+\sqrt{2} \mathrm{~d} y$.
$\text{C.}$ $\mathrm{d} x+\sqrt{2} \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ $\mathrm{d} x-\sqrt{2} \mathrm{~d} y$.
设二重积分 $I_1=\iint_D \frac{x+y-1}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其 中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-2)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^x$ 的通解为
$\text{A.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x-\frac{1}{4} \mathrm{e}^x$.
$\text{B.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x-\frac{1}{4} x \mathrm{e}^x$.
$\text{C.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{4} \mathrm{e}^x$.
$\text{D.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{4} x \mathrm{e}^x$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆;(2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解.
正确的共有
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有两个线性无关的解, 则
$\text{A.}$ $A x=0$ 的解均是 $A^* x=0$ 的解.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解均是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=0$ 没有非零公共解.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有两个非零公共解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+2 a x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 正定, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $-1 < a < 0$.
$\text{B.}$ $0 < a < 1$.
$\text{C.}$ $-\frac{4}{5} < a < 0$.
$\text{D.}$ $-\frac{4}{5} < a < 1$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\frac{(x+1)^n}{\mathrm{e}^{x^2}}$, 则 $f^{(n)}(-1)=$
设 $f(u)$ 为可导函数, 曲线 $y=f\left(\mathrm{e}^x\right)$ 过点 $(1,2)$, 且它在点 $(1,2)$ 处的切线过点 $(0,0)$, 那么函 数 $f(u)$ 在 $u=\mathrm{e}$ 处, 当 $u$ 取得增量 $\Delta u=0.01$ 时, 相应的函数值增量的线性主部是
设 $\alpha$ 为实数, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^2\right)\left(1+x^a\right)}=$
曲线 $y=\int_0^x \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}\right)$ 的弧长 $s=$
设二元函数 $z=z(x, y)$ 有二阶连续偏导数, 且满足
$$
6 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=1,
$$
令变量 $\left\{\begin{array}{l}u=x-2 y \\ v=x+3 y\end{array}\right.$, 那么 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-4 x_1 x_3+2 x_2 x_3$, 经可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2-2 y_3^2+2 y_1 y_2$, 则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)-\tan (\tan x)}{\sin x-\tan x}$.
求出使不等式
$$
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}, n=1,2, \cdots
$$
成立的最大的数 $\alpha$ 和最小的数 $\beta$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 内二阶可导,且 $f(0)=f(2)=1, f(1)=3$, 试证: 至少存在一点 $\xi \in(0,2)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=-4$.
设三次曲线 $y=a x^3+b x^2+c x+d(a < 0)$ 以原点为极小值点, 并且过点 $(1,1)$, 试从这些曲线 中确定一条三次曲线, 使其极大值最小.
从点 $(0,-1)$ 引两条直线与抛物线 $y=x^2$ 相切.
(1) 求由这两条直线与抛物线 $y=x^2$ 所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积:
（2）求上述旋转体的体积
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1, a+1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a+1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(a+1,1,1)^{\mathrm{T}}$, 记 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$.
（I）根据 $a$ 的不同取值,讨论向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性相关性;
（II) 设 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,-2)^{\mathrm{T}}$, 当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关时, 判断线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 是否有解, 并在有解时求其通解;
(III) 对 (II) 中 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解时求得的 $a$, 求一个正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $\boldsymbol{f}\left(x_1, x_2, x_3\right)=$ $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 化为标准形.