设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有两个线性无关的解, 则
$ \text{A.} $ $A x=0$ 的解均是 $A^* x=0$ 的解. $ \text{B.} $ $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解均是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解. $ \text{C.} $ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=0$ 没有非零公共解. $ \text{D.} $ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 仅有两个非零公共解.
【答案】 A

【解析】 【解析】依题意, $n-r(\boldsymbol{A}) \geqslant 2$, 故 $r(\boldsymbol{A}) \leqslant n-2$, 于是由 $r(\boldsymbol{A})$ 与 $r\left(\boldsymbol{A}^*\right)$ 的关系可知, $r\left(\boldsymbol{A}^*\right)=0$, 即 $A^*=O$, 因此任意 $n$ 维列向量都是 $A^* x=0$ 的解, 从而 $A x=0$ 的解均是 $A^* x=0$ 的解, $A x=0$ 与 $A^* x=0$ 的非零公共解就是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的非零解, 有无穷多个, 因此 (B) (C) (D) 都不对.
故应选 (A).
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