已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1, a+1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a+1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(a+1,1,1)^{\mathrm{T}}$, 记 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$.
（I）根据 $a$ 的不同取值,讨论向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性相关性;
（II) 设 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,-2)^{\mathrm{T}}$, 当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关时, 判断线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 是否有解, 并在有解时求其通解;
(III) 对 (II) 中 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解时求得的 $a$, 求一个正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $\boldsymbol{f}\left(x_1, x_2, x_3\right)=$ $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 化为标准形.