设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆;(2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解.
正确的共有
$ \text{A.} $ 1个 $ \text{B.} $ 2个 $ \text{C.} $ 3个 $ \text{D.} $ 4个
【答案】 C

【解析】 【解析】因 $A, B$ 可逆, 故 $A B$ 可逆, 再由 $A+B=A B$, 知 $A+B$ 可逆, (1) 正确; 由 $A B=A+B$, 得 $A B-A-B+E=E,(A-E)(B-E)=E$, 故 $A-E, B-E$ 均可逆, 从而 $(B-E) x=0$ 只有零解,故 (3) 正确, (4) 错误;
由 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})=\boldsymbol{E}$, 知 $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=\boldsymbol{E}$, 故 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 从而 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$, (2) 也正确. 综上分析,(1)(2) (3) 正确.
故应选 (C).
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