单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
设 $f(x)$ 为连续函数，且 $F(x)=\int_{\frac{1}{x}}^{\ln x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{x} f(\ln x)+\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{B.}$ $f(\ln x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{x} f(\ln x)-\frac{1}{x^2} f\left(\frac{1}{x}\right)$
$\text{D.}$ $f(\ln x)-f\left(\frac{1}{x}\right)$
若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2$ 都是四维列向量，且四阶行列式 $ \left|\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \beta_1\right|=m,\left|\alpha_1 \alpha_2 \beta_2 \alpha_3\right|=n $, 则四阶行列式 $\left|\alpha_3 \alpha_2 \alpha_1\left(\beta_1+\beta_2\right)\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
$n$ 阶方阵 $A$ 具有 $n$ 个不同的特征值是 $A$ 与对角阵相似的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分而非必要条件
$\text{C.}$ 必要而非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
设 $\lambda=2$ 是非奇异矩阵 $A$ 的一个特征值，则 $\left(\frac{1}{3} A^2\right)^{-1}$ 有一特征值等于
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
假设事件 $A$ 和 $B$ 满足 $P(B \mid A)=1$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 是必然事件
$\text{B.}$ $P(B \mid \bar{A})=0$
$\text{C.}$ $A \supset B$
$\text{D.}$ $A \subset B$
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $\varphi(x)$ ，且 $\varphi(-x)=\varphi(x)$, $F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，则对任意实数 $a$ ，有
$\text{A.}$ $F(-a)=1-\int_0^a \varphi(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_0^a \varphi(x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $F(-a)=F(a)$
$\text{D.}$ $F(-a)=2 F(a)-1$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布，
$$
X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 5^2\right),
$$
记 $p_1=P\{X \leq \mu-4\}, p_2=P\{Y \geq \mu+5\}$ ，则
$\text{A.}$ 对任何实数 $\mu$ ，都有 $p_1=p_2$
$\text{B.}$ 对任何实数 $\mu$ ，都有 $p_1 < p_2$
$\text{C.}$ 只对 $\mu$ 的个别值，才有 $p_1=p_2$
$\text{D.}$ 对任何实数 $\mu$ ，都有 $p_1>p_2$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^2+5}{5 x+3} \sin \frac{2}{x}=$
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]=$
已知 $y=f\left(\frac{3 x-2}{3 x+2}\right), f^{\prime}(x)=\arctan x^2$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$
$\int \frac{d x}{(2-x) \sqrt{1-x}}=$
级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n}{2^n}$ 的和为
设 4 阶方阵 $A$ 的秩为 2 ，则其伴随矩阵 $A^*$ 的秩为
设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为
设总体 $X$ 的方差为 1 ，根据来自 $X$ 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5 ，则 $\boldsymbol{X}$ 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $z-y-x+x e^{z-y-x}=0$ 所确定的二元函数，求 $\mathrm{d} z$.
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^x=\int_a^{+\infty} 4 x^2 e^{-2 x} \mathrm{~d} x$ ，求常数 $a$的值.
设某产品的成本函数为 $C=a q^2+b q+c$ ，需求函数为 $q=\frac{1}{e}(\mathrm{~d}-p)$ ，其中 $C$ 为成本， $q$ 为需求量(即产量)， $p$为单价， $a, b, c, d, e$ 都是正的常数，且 $\mathrm{d}>b$ ，求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量.
已知某厂生产 $x$ 件产品的成本为 $C=25000+200 x+\frac{1}{40} x^2$
问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?
(2) 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?
设 $p, q$ 是大于 1 的常数，且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对于任意实数 $x>0$ ，有 $\frac{1}{p} x^p+\frac{1}{q} \geq x$.
设:
(1) 函数 $y=f(x)(0 \leq x < \infty)$ 满足条件 $f(0)=0$和 $0 \leq f(x) \leq e^x-1$ ；
(2) 平行于 $y$ 轴的动直线 $M N$ 与曲线 $y=f(x)$ 和 $y=e^x-1$ 分别交于点 $P_1$ 和 $P_2$ ；
(3) 曲线 $y=f(x)$ 、直线 $M N$ 与 $x$ 轴所围封闭图形的面积 $S$ 恒等于线段 $P_1 P_2$ 的长度. 求函数 $y=f(x)$ 的表达式.
假设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内二阶可导，过点 $A(0, f(0))$ 与 $B(1, f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C(c, f(c))$ ，其中 $0 < c < 1$. 证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$.
运用导数的知识作函数 $y=(x+6) e^{\frac{1}{x}}$ 的图形.
$k$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+k x_3=4 \\ -x_1+k x_2+x_3=k^2 \\ x_1-x_2+2 x_3=-4\end{array}\right.$ 唯
一解、无解、有无穷多组解? 在有解情况下，求出其全部解.
已知三阶矩阵 $A$ 的逆矩阵为 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，试求伴随矩阵 $A^*$ 的逆矩阵.
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times m$ 矩阵， $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵 $(m>n)$. 已知 $B A=E$ ，试判断 $A$ 的列向量组是否线性相关? 为什么?
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 \alpha x_1 x_2$ $+2 \beta x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 经正交变换 $X=P Y$ 化成
$$
f=y_2^2+2 y_3^2 \text {, }
$$
其中 $X=\left(x_1, x_2, x_3\right)^T$ 和 $Y=\left(y_1, y_2, y_3\right)^T$ 是三维列向量， $P$ 是 3 阶正交矩阵，试求常数 $\alpha, \beta$.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立，且都在区间 $[1,3]$ 上服从均匀分布，引进事件 $A=\{X \leq a\}, B=\{Y>a\}$.
(1) 已知 $P(A \cup B)=\frac{7}{9}$ ，求常数 $a$ ；
(2) 求 $\frac{1}{X}$ 的数学期望.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 同分布， $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{3}{8} x^2 & 0 < x < 2 \\ 0 & \text { 其他 }\end{cases}
$$
(1) 已知事件 $A=\{X>a\}$ 和 $B=\{Y>a\}$ 独立，且 $P(A \cup B)=\frac{3}{4}$ ，求常数 $a$ ；
(2) 求 $\frac{1}{X^2}$ 的数学期望.
假设一大型设备在任何长为 $t$ 的时间内发生故障的次数 $N(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔 $T$ 的概率分布;
(2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 $Q$.