1993年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

导出试卷

1993年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} \sqrt{| x |} \sin \frac{1}{x^{2}}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}

则

f (x)

在点

x = 0

处

A.

极限不存在

B.

极限存在但不连续

C.

连续但不可导

D.

可导

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 设

f (x)

为连续函数，且

F (x) = \int_{\frac{1}{x}}^{\ln x} f (t) d t

，则

F^{'} (x)

等于

A.

\frac{1}{x} f (\ln x) + \frac{1}{x^{2}} f (\frac{1}{x})

B.

f (\ln x) + f (\frac{1}{x})

C.

\frac{1}{x} f (\ln x) - \frac{1}{x^{2}} f (\frac{1}{x})

D.

f (\ln x) - f (\frac{1}{x})

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 若

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1}, β_{2}

都是四维列向量，且四阶行列式

| α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} | = m, | α_{1} α_{2} β_{2} α_{3} | = n

, 则四阶行列式

| α_{3} α_{2} α_{1} (β_{1} + β_{2}) |

等于

A.

m + n

B.

- (m + n)

C.

n - m

D.

m - n

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

n

阶方阵

A

具有

n

个不同的特征值是

A

与对角阵相似的

A.

充分必要条件

B.

充分而非必要条件

C.

必要而非充分条件

D.

既非充分也非必要条件

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 设

λ = 2

是非奇异矩阵

A

的一个特征值，则

{(\frac{1}{3} A^{2})}^{- 1}

有一特征值等于

A.

\frac{4}{3}

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{4}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 假设事件

A

和

B

满足

P (B ∣ A) = 1

，则

A.

A

是必然事件

B.

P (B ∣ \bar{A}) = 0

C.

A \supset B

D.

A \subset B

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 设随机变量

X

的密度函数为

φ (x)

，且

φ (- x) = φ (x)

F (x)

是

X

的分布函数，则对任意实数

a

，有

A.

F (- a) = 1 - \int_{0}^{a} φ (x) d x

B.

F (- a) = \frac{1}{2} - \int_{0}^{a} φ (x) d x

C.

F (- a) = F (a)

D.

F (- a) = 2 F (a) - 1

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

8. 设随机变量

X

与

Y

均服从正态分布，

X \sim N (μ, 4^{2}), Y \sim N (μ, 5^{2}),

记

p_{1} = P {X \leq μ - 4}, p_{2} = P {Y \geq μ + 5}

，则

A.

对任何实数

μ

，都有

p_{1} = p_{2}

B.

对任何实数

μ

，都有

p_{1} < p_{2}

C.

只对

μ

的个别值，才有

p_{1} = p_{2}

D.

对任何实数

μ

，都有

p_{1} > p_{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 7 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 求下列极限：
(1)

lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 5}{5 x + 3} \sin \frac{2}{x} =

(2)

lim_{n \to \infty} [\sqrt{1 + 2 + \dots + n} - \sqrt{1 + 2 + \dots + (n - 1)}] =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 已知

y = f (\frac{3 x - 2}{3 x + 2}), f^{'} (x) = \arctan x^{2}

，则

{\frac{d y}{d x} |}_{x = 0} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

11.

\int \frac{d x}{(2 - x) \sqrt{1 - x}} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^{n}}{2^{n}}

的和为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 设 4 阶方阵

A

的秩为 2 ，则其伴随矩阵

A^{*}

的秩为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14. 设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

15. 设总体

X

的方差为 1 ，根据来自

X

的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5 ，则

X

的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 设

z = f (x, y)

是由方程

z - y - x + x e^{z - y - x} = 0

所确定的二元函数，求

d z

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(2) 错题本(2) 白板加入试卷

17. 已知

lim_{x \to \infty} {(\frac{x - a}{x + a})}^{x} = \int_{a}^{+ \infty} 4 x^{2} e^{- 2 x} d x

，求常数

a

的值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

18. 设某产品的成本函数为

C = a q^{2} + b q + c

，需求函数为

q = \frac{1}{e} (d - p)

，其中

C

为成本，

q

为需求量(即产量)，

p

为单价，

a, b, c, d, e

都是正的常数，且

d > b

，求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润;
(2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

19. 已知某厂生产

x

件产品的成本为

C = 25000 + 200 x + \frac{1}{40} x^{2}

问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?
(2) 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

20. 设

p, q

是大于 1 的常数，且

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

，证明：对于任意实数

x > 0

，有

\frac{1}{p} x^{p} + \frac{1}{q} \geq x

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

21. 设:
(1) 函数

y = f (x) (0 \leq x < \infty)

满足条件

f (0) = 0

和

0 \leq f (x) \leq e^{x} - 1

；
(2) 平行于

y

轴的动直线

M N

与曲线

y = f (x)

和

y = e^{x} - 1

分别交于点

P_{1}

和

P_{2}

；
(3) 曲线

y = f (x)

、直线

M N

与

x

轴所围封闭图形的面积

S

恒等于线段

P_{1} P_{2}

的长度. 求函数

y = f (x)

的表达式.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

22. 假设函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续，在

(0, 1)

内二阶可导，过点

A (0, f (0))

与

B (1, f (1))

的直线与曲线

y = f (x)

相交于点

C (c, f (c))

，其中

0 < c < 1

. 证明：在

(0, 1)

内至少存在一点

ξ

，使

f^{''} (ξ) = 0

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

23. 运用导数的知识作函数

y = (x + 6) e^{\frac{1}{x}}

的图形.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

24.

k

为何值时，线性方程组

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + k x_{3} = 4 \\ - x_{1} + k x_{2} + x_{3} = k^{2} \\ x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 4 \end{matrix}

唯
一解、无解、有无穷多组解? 在有解情况下，求出其全部解.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

25. 已知三阶矩阵

A

的逆矩阵为

A^{- 1} = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array})

，试求伴随矩阵

A^{*}

的逆矩阵.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

26. 设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，

E

是

n

阶单位矩阵

(m > n)

. 已知

B A = E

，试判断

A

的列向量组是否线性相关? 为什么?

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

27. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 α x_{1} x_{2}

+ 2 β x_{2} x_{3} + 2 x_{1} x_{3}

经正交变换

X = P Y

化成

f = y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2},

其中

X = {(x_{1}, x_{2}, x_{3})}^{T}

和

Y = {(y_{1}, y_{2}, y_{3})}^{T}

是三维列向量，

P

是 3 阶正交矩阵，试求常数

α, β

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

28. 设随机变量

X

和

Y

独立，且都在区间

[1, 3]

上服从均匀分布，引进事件

A = {X \leq a}, B = {Y > a}

.
(1) 已知

P (A \cup B) = \frac{7}{9}

，求常数

a

；
(2) 求

\frac{1}{X}

的数学期望.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

29. 设随机变量

X

和

Y

同分布，

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{cases} \frac{3}{8} x^{2} & 0 < x < 2 \\ 0 & 其他 \end{cases}

(1) 已知事件

A = {X > a}

和

B = {Y > a}

独立，且

P (A \cup B) = \frac{3}{4}

，求常数

a

；
(2) 求

\frac{1}{X^{2}}

的数学期望.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

30. 假设一大型设备在任何长为

t

的时间内发生故障的次数

N (t)

服从参数为

λ t

的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔

T

的概率分布;
(2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率

Q

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。