单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$, 则 $|z|= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2>0\right\}$, 则 $C_{R} A= $
$\text{A.}$ $\{x \mid-1 < x < 2\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 2\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid x < -1\} \cup\{x \mid x>2\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid x \leqslant-1\} \cup\{x \mid x \geqslant 2\}$
某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现 翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村 建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如下饼图:
$\text{A.}$ 新农村建设后，种植收入减少
$\text{B.}$ 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
$\text{C.}$ 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
$\text{D.}$ 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}, a_{1}=2$, 则 $a_{5}=$
$\text{A.}$ $-12$
$\text{B.}$ $-10$
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 12
设函数 $f(x)=x^{3}+(a-1) x^{2}+a x$. 若 $f(x)$ 为奇函数, 则曲线 $y=f($ $x)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 ( )
$\text{A.}$ $y=-2 x$
$\text{B.}$ $y=-x$
$\text{C.}$ $y=2 x$
$\text{D.}$ $y=x$
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $A D$ 为 $\mathrm{BC}$ 边上的中线, $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AD}$ 的中点, 则 $\overrightarrow{\mathrm{EB}}= $
$\text{A.}$ $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
某圆柱的高为 2 , 底面周长为 16 , 其三视图如图. 圆柱表面上的点 $M$ 在正视图上的对应点为 $A$, 圆柱表面上的点 $N$ 在左视图上的对应点为 $B$, 则在 此圆柱侧面上, 从 $M$ 到 $N$ 的路径中, 最短路径的长度为（）
$\text{A.}$ $2 \sqrt{17}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 2
设抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$, 过点 $(-2,0)$ 且斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线与 $C$ 交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点, 则 $\overrightarrow{\mathrm{FM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FN}}=(\quad)$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{x}, & x \leqslant 0 \\ \ln x, & x>0\end{array}, g(x)=f(x)+x+a\right.$. 若 $g(x)$ 存在 2 个零点, 则 $\mathrm{a}$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $[-1,0)$
$\text{B.}$ $[0,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $[1,+\infty)$
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个 半圆构成, 三个半圆的直径分别为直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$, 直角边 $A B, A C$ - $\triangle \mathrm{ABC}$ 的三边所围成的区域记为 I, 黑色部分记为 II, 其余部分记为吕. 在 整个图形中随机取一点, 此点取自 $\mathrm{I}, \mathrm{II}$, III的概率分别记为 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{p}_{3}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $\mathrm{p}_{1}=\mathrm{p}_{2}$
$\text{B.}$ $\mathrm{p}_{1}=\mathrm{p}_{3}$
$\text{C.}$ $\mathrm{p}_{2}=\mathrm{p}_{3}$
$\text{D.}$ $\mathrm{p}_{1}=\mathrm{p}_{2}+\mathrm{p}_{3}$
已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1, O$ 为坐标原点, $F$ 为 $C$ 的右焦点, 过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线的交点分别为 $M, N$. 若 $\triangle O M N$ 为直.角三角形, 则 $|\mathrm{MN}|=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ 4
已知正方体的棱长为 1 , 每条棱所在直线与平面 $\alpha$ 所成的角都相等, 则 $\alpha$ 截此正方体所得截面面积的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y-2 \leqslant 0 \\ x-y+1 \geqslant 0 \\ y \leqslant 0\end{array}\right.$, 则 $z=3 x+2 y$ 的最大值为
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_{n}=2 a_{n}+1$, 则 $S_{6}=$.
从 2 位女生, 4 位男生中选 3 人参加科技比赛, 且至少有 1 位女生 入选, 则不同的选法共有 （ ） 种. (用数字填写答案)
已知函数 $f(x)=2 \sin x+\sin 2 x$, 则 $f(x)$ 的最小值是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在平面四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}, \angle \mathrm{A}=45^{\circ}, \mathrm{AB}=2, \mathrm{BD}=5$.
（1）求 $\cos \angle \mathrm{ADB}$;
（2）若 $D C=2 \sqrt{2}$, 求 $B C$.
如图, 四边形 $A B C D$ 为正方形, $E, F$ 分别为 $A D, B C$ 的中点, 以 $D F$ 为折痕把 $\triangle D F C$ 折起, 使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置, 且 $P F \perp B F$.
(1) 证明: 平面 $P E F \perp$ 平面 $A B F D$;
(2) 求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值.
设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$, 过 $F$ 的直线 I 与 $C$ 交于 $A, B$ 两 点, 点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$.
(1) 当 $\mathrm{I}$ 与 $\mathrm{x}$ 轴垂直时, 求直线 $\mathrm{AM}$ 的方程;
(2) 设 $\mathrm{O}$ 为坐标原点, 证明: $\angle O M A=\angle O M B$.
某工厂的某种产品成箱包装, 每箱 200 件, 每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验, 如检验出不合格品, 则更换为合格品. 检验时, 先 从这箱产品中任取 20 件作检验, 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品 作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 $p(0 < p < 1)$, 且各件产品是否 为不合格品相互独立.
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 $f(p)$, 求 $f(p)$ 的最大值点 $p_{0} .$
（2）现对一箱产品检验了 20 件, 结果恰有 2 件不合格品, 以（1）中确定的 $\mathrm{p}_{0}$ 作为 $\mathrm{p}$ 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元, 若有不合格品进入用户手中, 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验, 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$, 求 $E X$;
（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据, 是否该对这箱余下的所有 产品作检验?
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{\mathrm{x}}-\mathrm{x}+\mathrm{aln} \mathrm{x}$.
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$, 证明: $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}} < a-2$.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y=k|x|+2$. 以坐标原点为 极点, $\mathrm{x}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}+2 \rho \cos \theta-3=0 .$
(1) 求 $C_{2}$ 的直角坐标方程;
(2) 若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有且仅有三个公共点, 求 $C_{1}$ 的方程.
已知 $f(x)=|x+1|-|a x-1|$.
（1）当 $a=1$ 时, 求不等式 $f(x)>1$ 的解集;
(2) 若 $x \in(0,1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.