题号:965    题型:解答题    来源:2018 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
如图, 四边形 $A B C D$ 为正方形, $E, F$ 分别为 $A D, B C$ 的中点, 以 $D F$ 为折痕把 $\triangle D F C$ 折起, 使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置, 且 $P F \perp B F$.
(1) 证明: 平面 $P E F \perp$ 平面 $A B F D$;
(2) 求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 4 次查看 我来讲解
答案:
(1) 证明: 由题意, 点 $E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点,
则 $\mathrm{AE}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}, \mathrm{BF}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$,
由于四边形 $A B C D$ 为正方形, 所以 $E F \perp B C$.
由于 $P F \perp B F, E F \cap P F=F$, 则 $B F \perp$ 平面 $P E F$.
又因为 $B F \subset$ 平面 $A B F D$, 所以: 平面 $P E F \perp$ 平面 $A B F D$.
(2) 在平面 $D E F$ 中, 过 $P$ 作 $P H \perp E F$ 于点 $H$, 连接 $D H$,
由于 $E F$ 为面 $A B C D$ 和面 $P E F$ 的交线, $P H \perp E F$,
则 $\mathrm{PH} \perp$ 面 $A B F D$, 故 $\mathrm{PH} \perp \mathrm{DH}$.
在三棱雉 P- DEF 中, 可以利用等体积法求 PH,
因为 $D E / / B F$ 且 $P F \perp B F$,
所以 $P F \perp D E$,
又因为 $\triangle P D F \cong \triangle C D F$,
所以 $\angle F P D=\angle F C D=90^{\circ}$,
所以 $P F \perp P D$,
由于 $D E \cap P D=D$, 则 $P F \perp$ 平面 $P D E$,
故 $V_{F-P D E}=\frac{1}{3} P F=S_{\triangle P D E}$,
因为 $\mathrm{BF} / / \mathrm{DA}$ 且 $\mathrm{BF} \perp$ 面 $\mathrm{PEF}$,
所以 $D A \perp$ 面 $P E F$,
所以 $D E \perp E P$.
设正方形边长为 $2 a$, 则 $P D=2 a, b E=a$
在 $\triangle \mathrm{PDE}$ 中, $\mathrm{PE}=\sqrt{3} a$,
所以 $S_{\triangle P D E}=\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$,
故 $V_{F-P D E}=\frac{\sqrt{3}}{6} a^{3}$,
又因为 $S_{\triangle D E F}=\frac{1}{2} a \cdot 2 a=a^{2}$,
所以 $\mathrm{PH}=\frac{3 \mathrm{~V}_{\mathrm{F}-\mathrm{PDE}}}{\mathrm{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{a}$,
所以在 $\triangle \mathrm{PHD}$ 中, $\sin \angle \mathrm{PDH}=\frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{PD}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$,
即 $\angle \mathrm{PDH}$ 为 DP 与平面 $A B F D$ 所成角的正弦值为: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭