题号:964    题型:解答题    来源:2018 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
在平面四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}, \angle \mathrm{A}=45^{\circ}, \mathrm{AB}=2, \mathrm{BD}=5$.
(1)求 $\cos \angle \mathrm{ADB}$;
(2)若 $D C=2 \sqrt{2}$, 求 $B C$.
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答案:
解: (1) $\because \angle A D C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ}, A B=2, B D=5$.
$\therefore$ 由正弦定理得: $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{ADB}}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{A}}$, 即 $\frac{2}{\sin \angle \mathrm{ADB}}=\frac{5}{\sin 45^{\circ}}$,
$\therefore \sin \angle A D B=\frac{2 \sin 45^{\circ}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}$,
$\because \mathrm{AB} < \mathrm{BD}, \quad \therefore \angle \mathrm{ADB} < \angle \mathrm{A}$,
$\therefore \cos \angle \mathrm{ADB}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{23}}{5}$.
(2) $\because \angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}, \quad \therefore \cos \angle \mathrm{BDC}=\sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{\sqrt{2}}{5}$,
$\because D C=2 \sqrt{2}$,
$\therefore B C=\sqrt{B D^{2}+D C^{2}-2 \times B D \times D C \times \cos \angle B D C}$
$=\sqrt{25+8-2 \times 5 \times 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{5}}=5$.
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