单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{|x|\left(x^2-3 x+2\right)}$ 的无穷间断点个数有 $k_1$ 个，可去间断点个数
有 $k_2$ 个，再设函数 $y=g(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=k_2+t^{k_2+2} \\ y=e^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则极限
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{k_2}\left[g\left(k_1+\frac{k_1}{x}\right)-g\left(k_1\right)\right]=
$$
$\text{A.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{2 \mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{4 \mathrm{e}}{3}$ ．
$\text{D.}$ $2 e $．
已知如下四个命题：
（1）设 $f\left(\frac{1}{2}+x\right)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2},(\forall x \in \mathbb{R})$ ，则 $f(x)$ 是周期函数．
（2）设 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足：
$f(x+T)=k f(x)$, （其中 $T$ 和 $k$ 均是正常数）．
则 $f(x)=a^x \varphi(x)$ ，式中 $a>0$ ，且 $\varphi(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数．
（3）设 $f(x)=x-[x],[\cdot]$ 表示取整函数，$g(x)=\tan x$ ，则 $f(x)-g(x)$ 和 $f(x)+g(x)$ 均为周期函数．
（4）已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x, x \text { 为无理数 } \\ x, x \text { 为有理数 }\end{array}\right.$ 和 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^2, x \text { 为无理数 } \\ x^2, x \text { 为有理数．}\end{array}\right.$
则函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导；函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
请问错误的命题个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知某一条笛卡尔叶形线在第一象限的极坐标系下的方程为：
$$
r=\frac{3}{\sin \theta \tan \theta+\cos \theta \cot \theta},\left(\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\right) .
$$
并且该条笛卡尔叶形线的直角坐标系方程为 $f(x, y)=0$ ．又设 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 附近是方程 $f(x, y)+4 x y-1=0$ 所确定的隐函数，且当 $x \rightarrow 0$ 时，有 $y=A x^3-B x^2-\frac{1}{3} x+1+o\left(x^3\right)$ 。则有序实数对 $(A, B)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(-\frac{8}{81},-\frac{1}{3}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(-\frac{8}{81}, \frac{1}{3}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\frac{8}{81},-\frac{1}{3}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\frac{8}{81}, \frac{1}{3}\right)$ ．
已知 $f(x)$ 为连续可导的函数，且对任意的 $x \in \mathbb{R}$ ，均满足方程：
$$
f(x)=\lambda+\lambda x^2+\lambda \int_0^x \frac{1+x^2}{1+t^2} f(t) \mathrm{d} t
$$
这里的 $\lambda$ 为固定的实数，下面说法正确的是
$\text{A.}$ 方程的解不唯一，即满足方程的 $f(x)$ 不唯一。
$\text{B.}$ 方程的解与 $\lambda$ 无关，即满足方程的 $f(x)$ 不含 $\lambda$ ．
$\text{C.}$ $f(x)=\left(1+x^2\right) \mathrm{e}^x$ 满足方程。
$\text{D.}$ $f(x)=\lambda\left(1+x^2\right) \mathrm{e}^{\lambda x}$ 满足方程．
已知反常积分 $I(a)=\int_0^{+\infty} \frac{\ln (1+\sqrt{x})}{x^{\frac{a+1}{2}}} \mathrm{~d} x$ ，（ $a$ 为正数），则说法正确的是
$\text{A.}$ $a=1$ 时，$I(n)$ 收敛．
$\text{B.}$ $a>1$ 时，$I(n)$ 收敛．
$\text{C.}$ $1 < a < 2$ 时，$I(n)$ 收敛．
$\text{D.}$ $a < 1$ 时，$I(n)$ 收敛．
关于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 有界，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 必有最大值和最小值．
$\text{B.}$ 如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 无界，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 不可能既有最大值又有最小值．
$\text{C.}$ 如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 发散，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 不可能存在最值．
$\text{D.}$ 如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 必有最大值和最小值．
某仪器上有一只圆柱形的无盖水桶，桶高 6 cm ，半径为 1 cm ，在桶壁上钻有两个小孔用于安装支架，使水桶可以自由倾斜，两个小孔距桶底 2 cm ，且两孔连线恰为直径，水可以从两个小孔向外流出，当水桶以不同角度倾斜放置且没有水漏出时，这只水桶最多可装 （ ）水？
$\text{A.}$ $\frac{8 \sqrt{3}+7 \pi}{6}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{6 \sqrt{3}+5 \pi}{6}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{11 \sqrt{3}+3 \pi}{6}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{9 \sqrt{3}+8 \pi}{6}$ ．
设 $A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $E_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵，有如下命题：
（1）如果 $A^k=O$ ，且 $k=2 n+1, n \in \mathbb{N}_{+}$，那么 $A+E_n$ 是可逆矩阵。
（2）如果 $A C=C A$ 且 $A$ 可逆，则 $\left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|A D-C B|$ ．
（3）如果 $A$ 是 $n$ 阶可逆的对称矩阵，且满足：$(A-B)^2=E_n$ ，则
$$
\left(E_n+A^{-1} B^T\right)^T\left(E_n-B A^{-1}\right)^{-1}=(A+B)(A-B) .
$$
请问正确命题的个数有
$\text{A.}$ 0 个．
$\text{B.}$ 1 个．
$\text{C.}$ 2 个．
$\text{D.}$ 3 个．
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $2 A+E_n$ 和 $\frac{4}{3} A-E_n$ 都可逆，记作：
$$
B=\left(2 A+E_n\right)^{-1}\left(A-2 E_n\right) .
$$
则 $\left(E_n+2 B\right)^{-1}-\frac{1}{2} E_n=()$ ，其中 $E_n$ 为单位矩阵。
$\text{A.}$ $\frac{5}{2}\left(4 A-3 E_n\right)$ ．
$\text{B.}$ $\frac{5}{2}\left(4 A-3 E_n\right)^{-1}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}\left(2 A+E_n\right)^{-1}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{5}{2}\left(2 A+E_n\right)$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right), E=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，令
$$
M=(A-E)^{2023}+(A-E)^{2022}+\cdots+(A-E)^3+(A-E)^2+A-E
$$
则矩阵 $M=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin \left(\sqrt{1+x^2}\right) \cos (x)}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x=$
常微分方程 $\left(y^{\prime}\right)^2+x y^{\prime}-y=0$ 的通解为
若 $a>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{n \cdot(\sqrt[n]{a}-1)}=$
设函数 $f(x)=\cos (a x) \cos (b x)$ ，求 $f^{(2025)}(x)=$
设 $\rho=\rho(x)$ 是曲线 $y=\sqrt{x}$ 上任意一点 $M(x, y),(x \geq 1)$ 处的曲率半径， $s=s(x)$ 是曲线上介于点 $A(1,1)$ 与 $M$ 之间的弧长，则 $\left.\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} s}\right|_{x=1}=$
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \\ a & b & c\end{array}\right)$ ．当 $(a, b, c)=$ $\_\_\_\_$时，矩阵方程 $A X=B$ 有无穷多解
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_1, b_1$ 均为某个实数，记作：
$$
a_n=\int_0^1 \max \left\{b_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, \quad b_n=\int_0^1 \min \left\{a_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x
$$
其中 $n \geq 2, n \in \mathbb{N}_{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n b_n$ ．
讨论函数
$$
f(x, y)=a x+a y+b \sin x \sin y,(a>0, b>0)
$$
极值的存在性；如果存在，请写出解答过程；如果不存在，请说明理由．
设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上二阶可导，且满足：
$$
f(a)=f(b)=0
$$
证明：对任意的 $x \in(a, b)$ ，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(x)=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2}(x-a)(x-b) .
$$
设函数 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty+\infty)$ 上二阶连续可导，$n$ 是正整数，证明：$u=x^n \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足：
$$
x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 x y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=n(n-1) u
$$
若函数 $f(x):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个非负凹函数，且 $f(0)=1$ ，证明：
$$
\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{2}{3}\left(\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right)^2
$$
设二次型
$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3 \\
& g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3
\end{aligned}
$$
（1）求一个可逆矩阵 $C$ ，使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $x=C y$ 化为标准形．
（2）记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩形为 $B$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T\left(C^T B C\right) Q$ 为对角矩阵。
（3）求一个可逆矩阵 $T$ ，使得在合同变换 $x=T y$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化为标准形．