设二次型

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3 \\
& g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3
\end{aligned}
$$

（1）求一个可逆矩阵 $C$ ，使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $x=C y$ 化为标准形．
（2）记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩形为 $B$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T\left(C^T B C\right) Q$ 为对角矩阵。
（3）求一个可逆矩阵 $T$ ，使得在合同变换 $x=T y$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化为标准形．