单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{4 \times 4}, \boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)_{4 \times 4}$ ，且 $a_{i j}=-2 b_{i j}$ ，则行列式 $|\boldsymbol{B}|=()$ ．
$\text{A.}$ $2^{-4}|\boldsymbol{A}|$ ；
$\text{B.}$ $2^4|\boldsymbol{A}|$ ；
$\text{C.}$ $-2^{-4}|\boldsymbol{A}|$ ；
$\text{D.}$ $-2^4|\boldsymbol{A}|$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right]$ ，已知 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的秩为 1 ，则必有
$\text{A.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$ ；
$\text{B.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$ ；
$\text{C.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$ ；
$\text{D.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\mathbf{0}$ ，则必有（ ）。
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关，且 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性相关；
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关，且 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性相关；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性相关，且 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性相关；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性相关，且 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性相关．
设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与第 2 行交换，再把第 2 行的 1 倍加到第 3行，得矩阵 $\boldsymbol{B}$ 。记 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P} \mathbf{A}$ ，则可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] ;$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ；
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$ ；
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ．
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 是线性空间 $V$ 的基，则以下向量组中，也是 $V$的基的是（ ）．
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1 ;$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ ；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设四阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵为 $\boldsymbol{A}^*$ 和 $\boldsymbol{B}^*$ ，且它们的秩分别为 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=3$ ， $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=4$ ，则秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}^*\right)=$
设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}=(x, 0, \cdots, 0, x)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $x < 0$ ；又设矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，且 $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{E}+\frac{1}{x} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $x=$
已知实二次型
$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, x_3\right)= & \left(1+a_3^2\right) x_1^2+\left(1+a_1^2\right) x_2^2+\left(1+a_2^2\right) x_3^2 \\
& -2\left(a_1 x_1 x_2+a_2 x_2 x_3+a_3 x_3 x_1\right)
\end{aligned}
$$
为正定二次型，则常数 $a_1, a_2, a_3$ 须满足关系式
已知向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$ 都是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda=2$ 的特征向量，且向量 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则向量 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{-1},|\boldsymbol{A}| < 0$ ，则行列式 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
a+1 & 0 & 0 & 0 & a+2 \\
0 & a+5 & 0 & a+6 & 0 \\
0 & 0 & a+9 & 0 & 0 \\
0 & a+7 & 0 & a+8 & 0 \\
a+3 & 0 & 0 & 0 & a+4
\end{array}\right|
$$
设四阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足方程 $\left(2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B}\right) \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{C}^{-1}$ ，试求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，其中
$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & -3 & -2 \\
0 & 1 & 2 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
$$
已知 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵，秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda_1=\lambda_2=6$ 的特征向量
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
1
\end{array}\right] .
$$
试求：（1） $\boldsymbol{A}$ 的另一个特征值 $\lambda_3$ 及其特征向量；
（2）矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2-2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$ ，求正交变换 $\boldsymbol{x}= Q \boldsymbol{y}$ ，将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形，并写出正交变换 $\boldsymbol{x}=Q \boldsymbol{y}$ ．
设线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2-2 x_3+3 x_4 & =0, \\
x_1-3 x_2-6 x_3+2 x_4 & =-1, \\
x_1+5 x_2+10 x_3-x_4 & =a, \\
3 x_1+x_2+b x_3+4 x_4 & =1 .
\end{aligned}\right.
$$
问：（1）$a, b$ 取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．
已知向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的两个基
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
2
\end{array}\right] ; \\
& \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$
（1）求由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ；
（2）已知向量 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}_1+3 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，求 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B}, r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})=n$ ．证明：
$$
\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B}) .
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵的充分必要条件为存在 $n$ 阶正定矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，使 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}^2$ ．