已知向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的两个基

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
2
\end{array}\right] ; \\
& \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

（1）求由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{P}$ ；
（2）已知向量 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}_1+3 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，求 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．