单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-6>0\right\}, B=\{1,2,3,4,5\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{5\}$
$\text{B.}$ $\{4,5\}$
$\text{C.}$ $\{3,4,5\}$
$\text{D.}$ $\{2,3,4,5\}$
下列四个向量中, 与向量 $a=(-2,3)$ 共线的是
$\text{A.}$ $(3,2)$
$\text{B.}$ $(3,-2)$
$\text{C.}$ $(4,-6)$
$\text{D.}$ $(4,6)$
2021 年 7 月, 中国青年报社社会调查中心通过问卷网, 对 2047 名 $14 \sim 35$ 岁青少年进行的专 项调查显示, 对于神舟十二号航天员乘组出征太空, $98.9 \%$ 的受访青少年都表示了关注. 针对 两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空, 你有什么感受 (问题 1)”和“青少年最关 注哪些方面 (问题 2)”, 问卷网统计了这 2047 名青少年回答的情况, 得到如图所示的两个统 计图,据此可得到的正确结论为
$\text{A.}$ 对于神舟十二号太空之旅, 只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的
$\text{B.}$ 对于神舟十二号飞行乘组出征太空, 超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代, “中国速度”令人瞩目
$\text{C.}$ 对于神舟十二号太空之旅, 青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活
$\text{D.}$ 对于神舟十二号飞行乘组出征太空, 超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天 事业取得大发展、大进步
若虚数 $z$ 满足 $2 \mathrm{i} \bar{z}=z^{2}$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 0 或 2
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2 x-1}, g(x)=x^{2}-2 x$, 则
$\text{A.}$ $f(x+1)$ 为奇函数, $g(x-1)$ 为偶函数
$\text{B.}$ $f(x+1)$ 为奇函数,$g(x+1)$ 为偶函数
$\text{C.}$ $f\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 为奇函数, $g(x-1)$ 为偶函数
$\text{D.}$ $f\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 为奇函数, $g(x+1)$ 为偶函数
若 $\tan (\alpha+2 \beta)=3, \tan (\alpha-\beta)=2$, 则 $\tan (\alpha+5 \beta)=$
$\text{A.}$ $\frac{11}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{11}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{11}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{11}$
含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐, 是新一代的碘盐产品. 海藻中的碘 $80 \%$ 为无机碘, $10 \% \sim$ $20 \%$ 为有机碘, 海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点. 某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质 量 $X$ (单位: 克)服从正态分布 $N(400,4)$, 某顾客购买了 4 袋海藻碘食用盐, 则至少有 2 袋的 质量超过 400 克的概率为
$\text{A.}$ $\frac{11}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{16}$
已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点, 点 $P, Q$ 是 $C$ 上位于 $x$ 轴上方 的任意两点, 且 $P F_{1} / / Q F_{2}$. 若 $\left|P F_{1}\right|+\left|Q F_{2}\right| \geqslant b$, 则 $C$ 的离心率的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
若直线 $3 x+4 y+n=0\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 与圆 $C:(x-2)^{2}+y^{2}=a_{n}^{2}\left(a_{n}>0\right)$ 相切, 则
$\text{A.}$ $a_{1}=\frac{6}{5}$
$\text{B.}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列
$\text{C.}$ 圆 $C$ 可能经过坐标原点
$\text{D.}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和为 23
“端午节”为中国国家法定节假日之一, 已被列人世界非物质文化遗产名录, 吃粽子便是端午 节食俗之一. 全国各地的粽子包法各有不同. 如图, 粽子可包成棱长为 $6 \mathrm{~cm}$ 的正四面体状的 三角粽, 也可做成底面半径为 $\frac{3}{2} \mathrm{~cm}$, 高为 $6 \mathrm{~cm}$ (不含外壳) 的圆柱状竹筒粽. 现有两碗馅料,
若一个碗的容积等于半径为 $6 \mathrm{~cm}$ 的半球的体积, 则(参考数据: $\sqrt{2} \pi \approx 4.44$ )
$\text{A.}$ 这两碗馅料最多可包三角粽 35 个
$\text{B.}$ 这两碗馅料最多可包三角粽 36 个
$\text{C.}$ 这两碗馅料最多可包竹筒粽 21 个
$\text{D.}$ 这两碗馅料最多可包竹筒粽 20 个
设函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 在一个周期内的图象经过 $A\left(-\frac{5 \pi}{18}, 0\right)$, $B\left(-\frac{\pi}{9},-1\right), C\left(\frac{\pi}{9}, 0\right), D\left(\frac{2 \pi}{9}, 1\right)$ 这四个点中的三个点, 则
$\text{A.}$ $\varphi=-\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\varphi=-\frac{\pi}{9}$
$\text{C.}$ $\omega=2$
$\text{D.}$ $\omega=3$
设 $a=\ln \frac{4}{3}, b=\frac{7}{32}, c=\frac{1}{2} \ln \frac{15}{8}, d=0.4^{2.1}$, 则
$\text{A.}$ $c>a$
$\text{B.}$ $b>c$
$\text{C.}$ $a>b$
$\text{D.}$ $a>d$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$y^{2}(x-y)^{8}$ 的展开式中 $x^{5} y^{5}$ 的系数为
已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{m}=1(m>0)$ 的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{2} x, F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点, $P$ 为 $C$ 右支上一点. 若 $\left|P F_{1}\right|=m-1$, 则 $\left|P F_{2}\right|=$
曲线 $y=x^{3}$ 在点 $A(-1,-1)$ 处的切线与曲线 $y=x^{3}$ 的另一个公共点为 $B(m, n)$, 则 $m+n$ $=$
在棱长为 3 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F, G$ 分别为棱 $B C, C C_{1}, A A_{1}$ 上一点, $B E=$ $2 C F$, 且 $E F / /$ 平面 $B_{1} D_{1} G$. 当三棱雉 $C-D E F$ 的体积取得最大值时, 三棱雉 $C-D E F$ 的侧 面积为 （ ） $ B_{1} G$ 与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边. 已知 $a=4, a b \sin A \sin C=c \sin B$.
(1) 若 $b c=16$, 求 $b^{2}+c^{2}$;
(2)若 $B=2 A$, 求 $b$.
甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件,在 10 天中, 甲、乙机床每天生产的次品数如下表所示:
1）若从这 10 天中随机选取 1 天, 设甲机床这天生产的次品数为 $X$, 求 $X$ 的分布列;
（2）已知丙机床这 10 天生产次品数的平均数为 $1.4$, 方差为 $1.84$. 以平均数和方差为依据, 若要从这三台机床中淘汰一台, 你应该怎么选择? 这三台机床你认为哪台性能最好?
如图, 在底面为矩形的四棱雉 $P-A B C D$ 中, $E$ 为棱 $A D$ 上一点, $P E \perp$ 底面 $A B C D$ (1) 证明: $A B \perp P D$.
(2)若 $A E=2, A B=D E=P E=3$, 求二面角 $B-P C-D$ 的大小.
已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=-2 b_{1}=4$, 且 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列, $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是公比为 2 的等比数列.
(1)求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 求 $\left\{\left|b_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
已知函数 $f(x)=(x-2 a) \ln x+a$.
(1) 从 (1) $a=3$, (2) $a=-1$ 这两个条件中选择一个, 求 $f(x)$ 零点的个数;
(2)若 $a>0$, 讨论函数 $y=x f(x)$ 的单调性.
注: 若第 (1) 问选择两个条件分别解答, 则按第一个解答计分.
已知抛物线 $E$ 的顶点为坐标原点, 对称轴为 $x$ 轴, 且直线 $y=x+1$ 与 $E$ 相切.
(1) 求 $E$ 的方程.
(2) 设 $P$ 为 $E$ 的准线上一点, 过 $P$ 作 $E$ 的两条切线, 切点为 $A, B$, 直线 $A B$ 的斜率存在, 且 直线 $P A, P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $C, D$ 两点.
(1)证明: $P A \perp P B$.
(2)试问 $\frac{|P C| \cdot|A B|}{|P B| \cdot|C D|}$ 是否为定值? 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.