题号:1700    题型:多选题    来源:河北省2021-2022学年高三上学期9月大联考数学试卷
“端午节”为中国国家法定节假日之一, 已被列人世界非物质文化遗产名录, 吃粽子便是端午 节食俗之一. 全国各地的粽子包法各有不同. 如图, 粽子可包成棱长为 $6 \mathrm{~cm}$ 的正四面体状的 三角粽, 也可做成底面半径为 $\frac{3}{2} \mathrm{~cm}$, 高为 $6 \mathrm{~cm}$ (不含外壳) 的圆柱状竹筒粽. 现有两碗馅料,
若一个碗的容积等于半径为 $6 \mathrm{~cm}$ 的半球的体积, 则(参考数据: $\sqrt{2} \pi \approx 4.44$ )
$A.$ 这两碗馅料最多可包三角粽 35 个 $B.$ 这两碗馅料最多可包三角粽 36 个 $C.$ 这两碗馅料最多可包竹筒粽 21 个 $D.$ 这两碗馅料最多可包竹筒粽 20 个
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答案:
AC

解析:

棱长为 $6 \mathrm{~cm}$ 的正四面体的体积 $V_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^{2} \times \sqrt{6^{2}-\left(6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3}\right)^{2}}=18 \sqrt{2}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$, 底面半径为 $\frac{3}{2} \mathrm{~cm}$, 高为 $6 \mathrm{~cm}$ 的圆柱的体积 $V_{2}=\pi \times\left(\frac{3}{2}\right)^{2} \times 6=\frac{27 \pi}{2}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$, 半径为 $6 \mathrm{~cm}$ 的半球的体积 $V_{3}=\frac{1}{2} \times \frac{4 \pi}{3} \times$ $6^{3}=144 \pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right)$. 因为 $\frac{144 \pi}{18 \sqrt{2}} \times 2=8 \sqrt{2} \pi \approx 35.5, \frac{144 \pi}{\frac{27 \pi}{2}} \times 2=\frac{64}{3} \approx 21.3$, 所以这两碗馅料最多可包三角粽 35 个, 最多可包竹筒粽 21 个.

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