题号:1707    题型:解答题    来源:河北省2021-2022学年高三上学期9月大联考数学试卷
$a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边. 已知 $a=4, a b \sin A \sin C=c \sin B$.
(1) 若 $b c=16$, 求 $b^{2}+c^{2}$;
(2)若 $B=2 A$, 求 $b$.
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答案:
解: (1) 因为 $a=4, a b \sin A \sin C=c \sin B$, 所以 $4 b \sin A \sin C=c \sin B$,
所以 $4 b c \sin A=b c$, 则 $\sin A=\frac{1}{4}$.
因为 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A, b c=16$, 所以 $16=b^{2}+c^{2} \pm 32 \times \frac{\sqrt{15}}{4}$,
则 $b^{2}+c^{2}=16 \pm 8 \sqrt{15}$,
又 $b^{2}+c^{2} > 0$, 所以 $b^{2}+c^{2}=16+8 \sqrt{15}$.

(2) 因为 $B=2 A$, 所以 $\sin B=\sin 2 A$, 且. $A$ 为锐角,
所以 $\sin B=2 \sin A \cos A$,
则 $b=2 a \cos A=8 \times \frac{\sqrt{15}}{4}=2 \sqrt{15}$.
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