题号:1708    题型:解答题    来源:河北省2021-2022学年高三上学期9月大联考数学试卷
甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件,在 10 天中, 甲、乙机床每天生产的次品数如下表所示:

1)若从这 10 天中随机选取 1 天, 设甲机床这天生产的次品数为 $X$, 求 $X$ 的分布列;
(2)已知丙机床这 10 天生产次品数的平均数为 $1.4$, 方差为 $1.84$. 以平均数和方差为依据, 若要从这三台机床中淘汰一台, 你应该怎么选择? 这三台机床你认为哪台性能最好?
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答案:
(1) 依题意得 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$
$$
\begin{aligned}
&P(X=0)=P(X=2)=\frac{3}{10}=0.3, \\
&P(X=1)=P(X=3)=\frac{2}{10}=0.2,
\end{aligned}
$$
故 $X$ 的分布列为



(2)
\begin{aligned}
&\bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{1}{10}(2+4+1+1+0+2+1+1+0+1)=1.3 \text {, }\\
&s^{2}=\frac{1}{10}\left[3 \times(0-1.4)^{2}+2 \times(1-1.4)^{2}+3 \times(2-1.4)^{2}+2 \times(3-1.4)^{2}\right]=1.24, \\
&s_{乙}^{2}=\frac{1}{10}\left[2 \times(0-1.3)^{2}+5 \times(1-1.3)^{2}+2 \times(2-1.3)^{2}+(4-1.3)^{2}\right]=1.21 .\\
&\text { 因为 } \bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{\text {丙 }} > \bar{x}_{乙}, s^{2} > s^{2} \text { 甲 }^{2} > s_{\text {乙 }}^{2} \text {, }\\
&\text { 所以次品数的平均数最小的是乙, 稳定性最好的也是乙, 稳定性最差的是丙, }\\
&\text { 故应淘汰丙机床, 乙机床的性能最好. }
\end{aligned}
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