已知函数 $f(x)=\frac{1}{2 x-1}, g(x)=x^{2}-2 x$, 则
$\text{A.}$ $f(x+1)$ 为奇函数, $g(x-1)$ 为偶函数
$\text{B.}$ $f(x+1)$ 为奇函数,$g(x+1)$ 为偶函数
$\text{C.}$ $f\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 为奇函数, $g(x-1)$ 为偶函数
$\text{D.}$ $f\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 为奇函数, $g(x+1)$ 为偶函数