单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
集合 $A=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2\}, B=\left\{x \mid x^2-x>0\right\}$, 则图中阴影部分表示的集合为
$\text{A.}$ $\{x \mid x \leqslant 1$ 或 $x>2\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid x < 0$ 或 $1 < x < 2\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid 1 \leqslant x < 2\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid 1 < x \leqslant 2\}$
函数 $f(x)=\frac{4 \cos x}{|x|+\frac{1}{2} x^2}$ 的部分图象大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两焦点分别为 $F_1, F_2$, 以 $F_1 F_2$ 为边作等边三角形, 若椭圆恰好平分等边三角形的另外两条边, 则椭圆的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $4-2 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}-1$
已知 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0,|\varphi| < \pi)$ 的部分图象如图所示, 则
$\text{A.}$ $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{3 \pi}{4}\right)$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{8}, 0\right)$
$\text{C.}$ $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left[\frac{\pi}{8}+k \pi, \frac{5 \pi}{8}+k \pi\right], k \in \mathbf{Z}$
$\text{D.}$ 把 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 \pi}{8}$ 个单位后得到的是一个奇函数的图象
$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 都是单位向量, $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$, 则 $(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}) \cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}-\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}+\sqrt{3}$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=2, a_2=1, a_{n+2}=\left\{\begin{array}{l}a_n+2, n \text { 为奇数, } \\ 2 a_n, n \text { 为偶数, }\end{array}\right.$ 则 $\left.a_n\right\}$ 的前 20 项和 $S_{20}=$
$\text{A.}$ 621
$\text{B.}$ 622
$\text{C.}$ 1133
$\text{D.}$ 1134
设实数 $t>0$, 若 $t \mathrm{e}^{2 t x}-\ln 2 x \geqslant 0$ 对 $x>0$ 恒成立, 则 $t$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{2 \mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right]$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{2 \mathrm{e}}\right]$
已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点, 椭圆 $C_2$ 与双曲线 $C_1$ 的焦点相同, $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点为 $P$, 若 $P F_1$ 的中点在双曲线 $C_1$ 的渐近线上, 且 $P F_1 \perp P F_2$, 则椭圆的离心率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知复数 $z_0=1-\mathrm{i}, z=x+y \mathrm{i}(x, y \in \mathbf{R})$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|=2$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是圆
$\text{B.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|+\left|z-\bar{z}_0\right|=2$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
$\text{C.}$ 方程 $\left|z-z_0\right|-\left|z-\bar{z}_0\right|=1$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
$\text{D.}$ 方程 $\left|z+\frac{1}{2}\left(z_0+\bar{z}_0\right)\right|=\left|z-z_0\right|$ 表示的 $z$ 在复平面内对应点的轨迹是抛物线
如图, $A C$ 为圆雉 $S O$ 的底面圆 $O$ 的直径, 点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A, C$ 的动点, $S O=O C=2$,则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 圆雉 $S O$ 的侧面积为 $2 \sqrt{2} \pi$
$\text{B.}$ 三棱雉 $S-A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$
$\text{C.}$ $\angle S A B$ 的取值范围是 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$
$\text{D.}$ 若 $A B=B C, E$ 为线段 $A B$ 上的动点, 则 $S E+C E$ 的最小值为 $2(\sqrt{3}+1)$
如图, 曲线 $y=\sqrt{x}$ 下有一系列等边三角形, 设第 $n$ 个等边三角形 $Q_{n-1} P_n Q_n\left(Q_0\right.$ 为坐标原点) 的边长为 $a_n$, 则下列说法正确的有
$\text{A.}$ $a_1=\frac{2}{3}, a_2=\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 则 $P_{n+1}$ 为 $\left(S_n+\frac{a_{n+1}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} a_{n+1}\right)$
$\text{C.}$ 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 则 $S_n=\frac{3}{4} a_{n+1}^2+\frac{1}{2} a_{n+1}$
$\text{D.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=\frac{2 n}{3}$
如图, $F$ 为抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点, $O$ 为坐标原点, 过 $y$轴左侧一点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线, 切点为 $A, B, P A, P B$ 分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点, 则下列结论一定正确的是
$\text{A.}$ $\angle A P B+\angle M F N=180^{\circ}$
$\text{B.}$ $\angle A F B+\angle A P B=180^{\circ}$
$\text{C.}$ $\frac{|O M|}{|O N|}=\frac{|F A|}{|F B|}$
$\text{D.}$ $\frac{|O M|}{|O N|}=\frac{|M A|}{|M P|}$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\log _b 3=m, \log _b 2=n$, 则 $b^{3 m+n}$ 的值为
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_3, a_7$ 是 $f(x)=\frac{1}{3} x^3-4 x^2+4 x-1$ 的极值点, 则 $a_5=$
设双曲线 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$, 圆 $O$ 以 $\Gamma$ 的实轴为直径, 过点 $F_1$ 作圆 $O$ 的切线 $l, l$ 与 $\Gamma$ 的两支分别交于 $A, B$ 两点, 且 $\cos \angle F_1 B F_2=\frac{3}{5}$,则 $\Gamma$ 的离心率的值为
如图, 对于曲线 $G$ 所在平面内的点 $O$, 若存在以 $O$ 为顶点的角 $\alpha$, 使得对于曲线 $G$ 上的任意两个不同的点 $A, B$ 恒有 $\angle A O B \leqslant \alpha$ 成立,则称角 $\alpha$为曲线 $G$ 的相对于点 $O$ 的“界角”, 并称其中最小的“界角”为曲线 $G$ 的相对于点 $O$ 的“确界角”. 已知曲线 $C: y=\left\{\begin{array}{l}x \mathrm{e}^{x-1}+1, x>0, \\ \frac{1}{16} x^2+1, x \leqslant 0\end{array}\right.$ （其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数), 点 $O$ 为坐标原点, 曲线 $C$ 的相对于点 $O$ 的 “确界角” 为 $\beta$, 则 $\sin \beta=$
已知坐标平面上点 $M(x, y)$ 与两个定点 $A(4,0), B(1,0)$ 的距离之比等于 2 .
(1) 求点 $M$ 的轨迹方程;
(2) 记 (1) 中的轨迹为 $C$, 过点 $M\left(1, \frac{1}{2}\right)$ 的直线 $l$ 被 $C$ 所截得的线段的长为 $2 \sqrt{3}$, 求直线 $l$的方程.
如图所示, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 底面 $A B C D, A B \perp B C, A B \perp A D$, 且 $P A=$ $A B=B C=\frac{1}{2} A D=2$.
(1) 求 $P B$ 与 $C D$ 所成的角;
(2) 求直线 $P D$ 与平面 $P A C$ 所成的角的余弦值.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+2, n \in \mathbf{N}^*$, 且 $a_2, a_5, a_{14}$ 成等比数列.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $b_n=2^n a_{n+1}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \triangle A B C$ 的面积为 $S$, 已知 $\frac{4 S}{\tan B}=$ $a^2 \cos B+a b \cos A$.
(1) 求 $B$;
(2) 若 $b=3, \triangle A B C$ 的周长为 $l$, 求 $\frac{S}{l}$ 的最大值.
已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-7}=1$ 经过点 $M\left(-2, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过点 $N(0,6)$ 的直线 $l$ 交该椭圆于 $C, D$ 两点 (点 $C$ 在点 $D$ 的上方), 椭圆的上、下顶点分别为 $A, B$, 直线 $A D$ 与直线 $B C$ 交于点 $Q$. 证明: 点 $Q$ 在定直线上.
已知函数 $f(x)=x^2-a x+2 \ln x, a \in \mathbf{R}$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 已知 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$, 且 $x_1 < x_2$, 证明: $2 f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \geqslant-1-3 \ln 2$.