已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C_1: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点, 椭圆 $C_2$ 与双曲线 $C_1$ 的焦点相同, $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点为 $P$, 若 $P F_1$ 的中点在双曲线 $C_1$ 的渐近线上, 且 $P F_1 \perp P F_2$, 则椭圆的离心率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$