单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
若 $f(x)=\int_0^{2 x} t \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f^{\prime \prime}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若 $z=z(x, y)$ 可微, 且满足方程 $y \frac{\partial z}{\partial x}+(2 x+1) \frac{\partial z}{\partial y}=0$, 则 $z(x, y)$ 的等值线是
$\text{A.}$ 椭圆曲线族.
$\text{B.}$ 双曲线族.
$\text{C.}$ 拋物线族.
$\text{D.}$ 直线族.
若函数 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$, 则在下列四项函数性质:
(1) $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$;
(2) $f^{\prime}(x) < 0$;
(3) $f(x)>0$;
(4) $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ 中
$\text{A.}$ $f$ 仅有第 (1) 项性质.
$\text{B.}$ $f$ 仅有第 (1), (2) 两项性质.
$\text{C.}$ $f$ 仅有第 (1), (2), (3) 三项性质.
$\text{D.}$ $f$ 具有全部四项性质.
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 它在区间 $(-\pi, \pi]$ 上的表达式是 $f(x)=x+x^2$. 若其傅里叶 (Fourier) 级数为 $S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$, 则
$\text{A.}$ $b_3=\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi^2$.
$\text{B.}$ $b_3=\frac{4}{3}, S(3 \pi)=\pi$.
$\text{C.}$ $b_3=\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi$.
$\text{D.}$ $b_3=-\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi^2$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_1^2+5 x_2^2+x_3^2-4 x_1 x_2+2 x_2 x_3$, 则对任意的三维向量 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}} \neq \mathbf{0}$, 均有
$\text{A.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right)>0$.
$\text{B.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) \geqslant 0$.
$\text{C.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) < 0$.
$\text{D.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3\right) \leqslant 0$.
设 $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵, $\boldsymbol{\alpha}$ 是三阶单位列向量,则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的秩 $r\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$, 且 $P\{2 < X < 4\}=0.4$, 则 $P\{|X-2|>2\}=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设随机向量 $(X, Y)$ 的联合分布为 $P\{X=i, Y=j\}=\frac{\mathrm{C}_n^i}{2^{n+j}}(i=0,1, \cdots, n ; j=1,2, \cdots)$, 则 $E(X Y)=$
$\text{A.}$ $\frac{n}{2}$.
$\text{B.}$ $n$.
$\text{C.}$ $\frac{n}{2}+1$.
$\text{D.}$ $2 n$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $\boldsymbol{n}$ 阶方阵, 满足 $\boldsymbol{A}^{\boldsymbol{m}}=\boldsymbol{E}$, 其中 $\boldsymbol{m}$ 为正整数. $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n}\end{array}\right)$, 其中 $A_{i j}$ 是 $A$中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式, 则 $\boldsymbol{B}^{\mathbf{m}}=$
$\text{A.}$ $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{O}$.
将一枚均匀的硬市独立地拖掷 100 次, 记正面次数为 $X$, 利用中心极限定理估计 $P\{40 \leqslant X \leqslant 60\} \approx$
$\text{A.}$ 0.5 .
$\text{B.}$ $1-\Phi(1)$.
$\text{C.}$ $\Phi(1)$.
$\text{D.}$ $2 \Phi(2)-1$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $r=(x, y, z), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 函数 $f(x)$ 可微, 曲线 $L$ 是一条有限的、不经过坐标原点的单侧光滑曲面 $S$ 的边界曲线, $L$ 的正向与曲面 $S$ 的正向符合右手法则, 则 $\oint_{\text {L. }} \frac{x}{r} f(r) \mathrm{d} x+\frac{y}{r} f(r) \mathrm{d} y+\frac{z}{r} f(r) \mathrm{d} z=$
设函数 $f(x, y)$ 可微. 若已知 $f$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $\boldsymbol{l}_1=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}$ 和 $\boldsymbol{l}_2=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}$ 的方向导数分别为 $\frac{\partial f(P)}{\partial \boldsymbol{l}_1}=m_1$ 和 $\frac{\partial f(P)}{\partial \boldsymbol{l}_2}=m_2$, 且 $m_1^2+m_2^2 \neq 0$, 则 $f(x, y)$ 在点 $P$ 处变化最快的方向是
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(1)=1, g(x)$ 为其反函数, $g^{\prime}(1)=g^{\prime \prime}(1)=a \neq 0$, 则 $\left.\left[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2} \int_0^{f(x)} \operatorname{tg}(t) \mathrm{d} t\right]\right|_{x=1}=$
已知方程 $y^{\prime \prime}+a_1(x) y^{\prime}+a_2(x) y=f(x)$ 有三个解: $y_1=1, y_2=x^2+1$ 和 $y_3=\mathrm{e}^{2 x}+1$, 则此方程右端的函数项 $f(x)=$
设向量 $\boldsymbol{\xi}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(-3,1,0)^{\mathrm{T}}$ 线性表出, 也可由向量 $\boldsymbol{\beta}_1=(3,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=$ $(2,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 线性表出, 则 $\boldsymbol{\xi}=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自二项分布总体 $B\left(3, \frac{1}{3}\right)$ 的简单随机样本, 则 $P\left\{\min _{1 \leqslant i \leqslant n} X_i>1\right\}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 是满足初值问题 $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x^2, \\ f(0)=a, f^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的特解, 试证明 $x=0$ 是 $y=f(x)$的极小值点.
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在点 $x=4$ 处条件收敛, 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$ 是否收敛, 若收敛,请说明是条件收敛,还是绝对收敛.
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可微, 且 $f(1)=f(-1)=1$, 若平面向量函数
$$
\boldsymbol{F}(x, y)=\frac{-x y^2}{y^4+f(x)} i+\frac{x^2 y}{y^4+f(x)} j
$$
是二元函数 $\Phi(x, y)$ 的梯度.
(I) 求函数 $f(x)$ 及 $\Phi(x, y)$;
( II ) 证明: $\oint_C \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$, 其中 $C$ 是任意一条不通过 $\boldsymbol{F}(x, y)$ 的奇点 (使 $y^{\prime}+f(x)=0$的点) 的正向闭路径.
$x$ 为大于 0 的常数,构造数列 $\left\{x_n\right\}: x_1=\sqrt{x}, x_{n+1}=\sqrt{x+x_n}(n=1,2, \cdots)$.
(I) 证明: 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛;
(II) 给定正整数 $m \geqslant 2$, 求方程 $\lim x_n=m$ 的解.
(I) 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$. 证明 $\boldsymbol{A}$ 相似于对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$.
(II) 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right)$. 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$.
设 $X_1, \cdots, X_{16}$ 是正态总体 $N(\mu, 4)$ 的一个样本, 其观测值为 $x_1, \cdots, x_{16}$, 考虑下列检验问题:
$H_0: \mu=6, \quad H_1: \mu \neq 6 .$
检验的拒绝域为 $W=\{|\bar{x}-6| \geqslant c\}$ (其中 $\bar{x}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_i$ ).
(I) 求出显著性水平为 $\alpha=0.05$ 时的常数 $c$ 的值 (精确到 2 位小数);
(II) 求该检验在 $\mu=6.5$ 处犯第二类错误的概率 (精确到 2 位小数).
$$
(\Phi(0.96)=0.832, \Phi(1.96)=0.975, \Phi(2.96)=0.999 .)
$$