已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可微, 且 $f(1)=f(-1)=1$, 若平面向量函数
$$
\boldsymbol{F}(x, y)=\frac{-x y^2}{y^4+f(x)} i+\frac{x^2 y}{y^4+f(x)} j
$$
是二元函数 $\Phi(x, y)$ 的梯度.
(I) 求函数 $f(x)$ 及 $\Phi(x, y)$;
( II ) 证明: $\oint_C \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$, 其中 $C$ 是任意一条不通过 $\boldsymbol{F}(x, y)$ 的奇点 (使 $y^{\prime}+f(x)=0$的点) 的正向闭路径.