广东六校2024届高三第三次联考数学试题及其参考答案

导出试卷

广东六校2024届高三第三次联考数学试题及其参考答案

一、单选题（共 13 题），每题只有一个选项正确

1. 集合

A = {0, 1, 2}

, 集合

B = {- 2, 0, 1}

, 则

A \cap B =

A.

{0, 1}

B.

{- 2, 0}

C.

{- 2, 1, 0}

D.

{0, 1, 2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 若复数

z

满足

(3 - 4 i) z = 1

, 则

| z | =

A.

1

B.

\frac{1}{5}

C.

\frac{1}{7}

D.

\frac{1}{25}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 已知非零向量

\vec{a}, \vec{b}

满足

| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |

, 且

\vec{a} ⊥ (\vec{a} - b)

, 则

\vec{a}

与

\vec{b}

的夹角为

A.

\frac{π}{3}

B.

\frac{π}{2}

C.

\frac{2 π}{3}

D.

\frac{5 π}{6}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 已知

\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \tan θ - \frac{7}{2}

, 则

\cos 2 θ =

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{2}

C.

- \frac{4}{5}

D.

\frac{4}{5}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 已知函数

f (x) = \sin 2 x

和直线

l : y = 2 x + a

, 那么 “直线

l

与曲线

y = f (x)

相切” 是 “

a = 0

”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 已知

a, b

为非负实数, 且

a + 2 b = 1

, 则

\frac{a^{2} + 1}{a} + \frac{2 b^{2} + 1}{b}

的最小值为

A.

1 + 2 \sqrt{2}

B.

2 + 2 \sqrt{2}

C.

3 + 2 \sqrt{2}

D.

4 + 2 \sqrt{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 已知三棱锥

S - A B C

如图所示,

A S, A B, A C

两两垂直, 且

| A S | = | A B | = | A C | = 2 \sqrt{2}

, 点

E, F

分别是棱

A S, B S

的中点, 点

G

是棱

S C

靠近点

C

的四等分点, 则空间几何体

E F G - A B C

的体积为

A.

\frac{11 \sqrt{2}}{6}

B.

2 \sqrt{2}

C.

\frac{13 \sqrt{2}}{6}

D.

\frac{7 \sqrt[3]{2}}{3}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

8. 已知数列

{a_{k}}

为有穷整数数列，具有性质

p

: 若对任意的

n \in {1, 2, 3, 4}

，

{a_{k}}

中存在

a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j} (i \geq 1, j \geq 0, i, j \in N^{*})

, 使得

a_{i} + a_{i + 1} + a_{i + 2} + \dots + a_{i + j} = n

, 则称

{a_{k}}

为

4 -

连续可表数列. 下面数列为

4 -

连续可表数列的是

A.

1, 1, 1

B.

1, 1, 2

C.

1, 3, 1

D.

2, 3, 6

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

9. 关于平面向量, 有下列四个命题, 其中说法正确的是

A.

\vec{a} = (\frac{9}{2}, k), \vec{b} = (k, 8)

, 若

\vec{a} / / \vec{b}

, 则

k = 6

B.

若

\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}

且

\bar{c} \neq \vec{0}

, 则

\vec{a} = \vec{b}

C.

若点

G

是

△ A B C

的雨心, 则

\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}

D.

若向量

\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (2, 3)

, 则向量

\vec{b}

在向屋

\vec{a}

上的投影向量为

\frac{\vec{a}}{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 已知函数

f (x) = \cos^{2} x + \sin x \cos x - \frac{1}{2}

的图象为

C

, 以下说法中正确的是

A.

函数

f (x)

的最大值为

\frac{\sqrt{2} + 1}{2}

B.

图象

C

相邻两条对称轴的距离为

\frac{π}{2}

C.

图象

C

关于

(- \frac{π}{8}, 0)

中心对称

D.

要得到函数

y = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x

的图象, 只需将函数

f (x)

的图象横坐标伸长为原来的 2 倍, 再向右平移

\frac{π}{4}

个单位

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

11. 若函数

f (x)

的定义域为

D

, 若对于任意

x_{1} \in D

, 都存在唯一的

x_{2} \in D

, 使得

f (x_{1}) + f (x_{2}) = 1

,则称

f (x)

为 “

I

型函数”, 则下列说法正确的是

A.

函数

f (x) = \ln x

是 “

I

型函数”

B.

函数

f (x) = \sin x

是 “

I

型函数”

C.

若函数

f (x)

是 “

I

型函数”, 则函数

1 - f (x)

也是 “

I

型函数”

D.

已知

m \in R

, 若

f (x) = m + \sin x, x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

是 “

I

型函数”, 则

m = \frac{1}{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 已知棱长为 1 的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

P

为线段

A_{1} C

上一动点, 则下列判断正确的是

A.

存在点

P

, 使得

C_{1} P / / A B_{1}

B.

三棱椎

P - B C_{1} D

的外接球半径最小值为

\frac{\sqrt{6}}{3}

C.

当

P

为

A_{1} C

的中点时, 过

P

与平面

B C_{1} D

平行的平面截正方体所得的截面面积为

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

D.

存在点

P

, 使得点

P

到直线

B_{1} C_{1}

的距离为

\frac{4}{5}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 已知棱长为 1 的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

P

为线段

A_{1} C

上一动点, 则下列判断正确的是

A.

存在点

P

, 使得

C_{1} P / / A B_{1}

B.

三棱椎

P - B C_{1} D

的外接球半径最小值为

\frac{\sqrt{6}}{3}

C.

当

P

为

A_{1} C

的中点时, 过

P

与平面

B C_{1} D

平行的平面截正方体所得的截面面积为

\frac{3 \sqrt{3}}{4}

D.

存在点

P

, 使得点

P

到直线

B_{1} C_{1}

的距离为

\frac{4}{5}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

14. 关于

x

的不等式

a x^{2} + (a + b) x + 2 > 0

的解集为

(- 3, 1)

, 则

a + b =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

15. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n} = 2^{n} - 1

, 则

\log_{2} a_{10} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

16. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} | 2^{x} - 1 |, x \leq 1 \\ (x - 2)^{2}, x > 1 \end{cases}

, 关于

x

的方程

f^{2} (x) - a \cdot f (x) = 0

有六个不等的实根, 则实数

a

的取值范围是

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

17. 如图, 已知函数

f (x) = A \sin (ω x + φ)

(其中

A > 0, ω > 0, | φ | \leq \frac{π}{2}

)的图象与

x

轴交于点

A, B

, 与

y

轴交于点

C, \vec{B C} = 2 \vec{B D}, ∠ O C B = \frac{π}{3}

| O A | = 2, | A D | = \frac{2 \sqrt{21}}{3}

, 则函数

f (x)

在

[1, 6]

上的值域为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

18. 已知

S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 且

a_{1} = 1, n S_{n + 1} = (n + 1) S_{n} + n^{2} + n, n \in N^{*}

(1) 证明: 数列

{\frac{S_{n}}{n}}

为等差数列, 并求

{S_{n}}

的通项公式;
(2) 若

b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}

, 设数列

{b_{n}}

的前

n

项和为

T_{n}

, 求

T_{n}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

19. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 且

b \cos A + a \cos B = - 2 c \cos A

.
(1) 求角

A

的值;
(2) 已知点

D

为

B C

的中点, 且

A D = 2

, 求

a

的最大值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

20. 若二次函数

f (x)

满足

f (x + 1) + f (x) = - x^{2} - 5 x - \frac{5}{2}

(1) 求

f (x)

的解析式;
(2) 若函数

g (x) = x \ln x + f (x)

, 解关于

x

的不等式:

g (x^{2} + x) \geq g (2)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

21. 如图 (1) 所示, 在

△ A B C

中,

∠ A B C = 60^{\circ}

, 过点

A

作

A D ⊥ B C

, 坓足

D

在线段

B C

上,且

A D = 2 \sqrt{3}, C D = \sqrt{5}

, 沿

A D

将

△ C D A

折起 (如图 (2)), 点

E, F

分别为棱

A C, A B

的中点.
(1) 证明:

A D ⊥ E F

;
(2) 若二面角

C - D A - B

所成角的正切值为 2 , 求二面角

C - D F - E

所成角的余弦值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

22. 已知数列

{a_{n}}

是公比大于 0 的等比数列,

a_{1} = 4, a_{3} = 64

. 数列

{b_{n}}

满足:

b_{n} = a_{2 n} + \frac{1}{a_{n}}

(n \in N^{*})

.
(1) 求数列

{b_{n}}

的通项公式:
(2) 证明:

{b_{n}^{2} - b_{2 n}}

是等比数列;
(3) 证明:

\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{(2 k - 1) (2 k + 1)}{b_{k}^{2} - b_{2 k}}} < 2 \sqrt{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

23. 已知函数

f (x) = x (t - \ln x), t \in R

(1) 讨论函数

f (x)

的单调区间;
(2) 当

t = 1

时, 设

x_{1}, x_{2}

为两个不相等的正数, 且

f (x_{1}) = f (x_{2}) = a

, 证明:

x_{1} + x_{2} > a (2 - e) + e - \frac{1}{e}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。