如图, 已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)$ (其中 $A>0, \omega>0,|\varphi| \leq \frac{\pi}{2}$ )的图象与 $x$ 轴交于点 $A, B$, 与 $y$ 轴交于点 $C, \overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{B D}, \angle O C B=\frac{\pi}{3}$, $|O A|=2,|A D|=\frac{2 \sqrt{21}}{3}$, 则函数 $f(x)$ 在 $[1,6]$ 上的值域为