2022年余炳森考研数学（数学一）

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2022年余炳森考研数学（数学一）

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设有函数序列

f_{n} (x) = (n + 1) x^{n}, 0 < x < 1, n = 1, 2, \dots

, 下列四个结论:(1)

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = 0, x \in (0, 1)

; (2) 若数列

x_{n} \in (0, 1), lim_{n \to \infty} x_{n}

存在, 则

lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{n}) = 0

;
(3)

lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x) = 0, x \in (0, 1)

; (4)

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = 0

中, 正确的是 ( ).

A.

(1) 和 (2)

B.

(3) 和 (4)

C.

(1) 和 (3)

D.

(2) 和 (4)

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2. 设积分

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + x^{a}) \ln (1 + x^{b})} d x

, 其中

a > 0, b > 0

, 若该积分收玫, 则必有

A.

0 < a < 1, 0 < b < 1

B.

0 < a < 1, b > 1

C.

a > 1, 0 < b < 1

D.

a > 1, b > 1

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3. 设

I_{1} = \iint_{D} (x + y) sgn (x + y) d x d y, I_{2} = \iint_{D} (x - y) sgn (x - y) d x d y

, 其中符号函数

sgn x = {\begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ - 1, & x < 0, \end{cases}

A.

I_{1} > I_{2}

B.

I_{1} < I_{2}

C.

I_{1} = I_{2}

D.

I_{1} = - I_{2}

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4. 若正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

收敛, 则下列级数 (1)

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}

; (2)

\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} - 2 a_{n + 1})

; (3)

\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{a_{n}}

;
(4)

\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{a_{n} a_{n + 1}}

中一定收敛的个数为

A.

B.

C.

D.

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5. 设非齐次线性方程组

A x = β_{1}

有解,

A x = β_{2}

无解, 对于任意常数

k

A.

方程组

A x = k β_{1} + β_{2}

一定有解

B.

方程组

A x = k β_{1} + β_{2}

一定无解

C.

方程组

A x = β_{1} + k β_{2}

一定有解

D.

方程组

A x = β_{1} + k β_{2}

一定无解

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6. 设矩阵

A_{m \times n}, B_{m \times s}, C_{n \times s}

满足

A C = B

, 以下命题中正确的是

A.

如果矩阵

C

的列向量组线性无关, 则矩阵

B

的列向量组一定线性无关

B.

如果矩阵

C

的行向量组线性无关, 则矩阵

B

的行向量组一定线性无关

C.

如果矩阵

B

的列向量组线性无关, 则矩阵

C

的列向量组一定线性无关

D.

如果矩阵

B

的行向量组线性无关, 则矩阵

C

的行向量组一定线性无关

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7. 设

A

为三阶矩阵,

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

为可逆矩阵,使得

P^{- 1} A P = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

, 则

A^{2} (α_{1} + α_{2} +

α_{3}

) 是

A.

α_{1} + 2 α_{3}

B.

α_{2} + 2 α_{3}

C.

α_{1} + 4 α_{3}

D.

α_{2} + 4 α_{3}

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8. 设随机事件

A, B, C

两两独立, 且

P (A) = P (B) = \frac{1}{2}, P (C) = \frac{1}{3}, P (A B ∣ C) = \frac{1}{3}

, 则在

A

不发生的条件下

B

与

C

都发生的概率是

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{6}

D.

\frac{1}{9}

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9. 设二维随机变量

(X, Y) \sim N (0, 0; 1, 1; 0), U = a X + b Y, V = c X + d Y

, 其中

a, b, c, d

为实数, 则

(U, V) \sim N (0, 0; 1, 1; 0)

是

(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array})

为正交矩阵的

A.

充分必要条件

B.

充分非必要条件

C.

必要非充分条件

D.

非充分非必要条件

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10. 设来自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

的简单随机样本的容量为 10 , 其中

μ

末知. 若

σ^{2}

的置信度为

0.95

的双侧置信区间的置信上限为 1 , 则

σ^{2}

的置信度为

0.90

的单侧置信区间的置信下限为

A.

\frac{χ_{0, 025}^{2} (9)}{χ_{0, 10}^{2} (9)}

B.

\frac{χ_{0, 975}^{2} (9)}{χ_{0.10}^{2} (9)}

C.

\frac{χ_{0, 975}^{2} (9)}{χ_{0, 90}^{2} (9)}

D.

\frac{χ_{0.975}^{2} (9)}{χ_{0.05}^{2} (9)}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设

f (x) = (x - 1) (x - 3)^{3} (x - 5)^{5} (x - 7)^{7}

, 则

f^{'''} (3) =

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12. 方程

\sum_{i = 1}^{100} \frac{1}{x - i} = 0

实根的个数为

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13. 设二元函数

z = z (x, y)

的全微分为

d z = (2 x y^{3} + a e^{y} \sin x) d x + (3 x^{2} y^{2} + e^{y} \cos x) d y,

其中

a

为常数, 则

z (x, y)

在点

(\frac{π}{4}, 0)

处沿各个方向的方向导数的最大值为

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14. 定积分

I = \int_{0}^{π} \cos (\sin^{2} x) \cos x d x =

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15. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array})

与

B = (\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{array})

相似, 则常数

b =

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16. 设随机变量

X

和

Y

相互独立,

X \sim B (1, \frac{1}{2}), Y \sim P (1), Z = {\begin{cases} 0, X = 0, \\ Y, X = 1, \end{cases}

则

X

与

Z

的相关
系数为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 求极限

lim_{n \to \infty} {(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1 + x} d x)}^{n}

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18. 设

u = f (r), r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

, 其中函数

f

二阶可微, 且

lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 1}{x - 1} = 1

, 若函数

u = f (r)

满足

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

, 试求

f (r)

的表达式.

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19. 设空间曲线

Γ

为圆周

{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, \\ y + z = 0, \end{cases}

上从点

(- 1, 0, 0)

经过点

(0

- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})

到点

(1, 0, 0)

的有向曲线段. (1) 若

P = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x

y, z

) 为

Γ

上的连续函数, 将

\int_{Γ} P d x + Q d y + R d z

转化为对弧长的曲线积分; (2) 利用 (1) 中的结论, 计算

I = \int_{Γ} z d x + (x + \cos x) d y + e^{y^{2}} d z

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20. 设函数

f (x)

在

[a, b]

上连续.
(1) 证明存在

ξ \in (a, b)

, 使得

\int_{a}^{ξ} f (x) d x = (b - ξ) f (ξ)

;
(2) 如果

f (x)

在

(a, b)

内取得最大值和最小值, 证明存在

η \in (a, b)

, 使得

\int_{a}^{η} f (x) d x = (η - a) f (η) .

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21. 设 3 阶实矩阵

A

和其伴随矩阵

A^{*}

满足

A - A^{*} - E = O, | A | = 2

.
(1) 证明

A

可以对角化;
(2) 如果

A

为实对称阵, 且

ξ = (1, 1 - 1)^{T}

是齐次线性方程组

(A - 2 E) x = 0

的一个解, 求对称矩阵

B

使得

B^{2} = A + E

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22. 如果对于任意的

x \in R

, 随机变量

X

满足

P {X ⩾ x} = P {X ⩽ - x}

, 就称

X

为对称的. (1) 如果连续型随机变量

X

和

Y

独立同分布, 证明

Y - X

是对称的; (2) 如果随机变量

(X, Y)

的密度函数为

f (x, y) = {\begin{array}{lc} \frac{1}{4} - \frac{1}{4} (| x | - \frac{1}{2}) y, | x | < 1, | y | < 1, \\ 0, & 其他, \end{array}

X

和

Y

是否相互独立?

X

和

Y

是否同分布? 又问

Y - X

是否是对称的? 给出你的理由.

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