设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0), U=a X+b Y, V=c X+d Y$, 其中 $a, b, c, d$ 为实 数, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$ 是 $\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵的
$ \text{A.} $ 充分必要条件 $ \text{B.} $ 充分非必要条件 $ \text{C.} $ 必要非充分条件 $ \text{D.} $ 非充分非必要条件
【答案】 A

【解析】 【解】由 $(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$ 知 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$.
如果 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$, 则 $D(U)=1, D(V)=1, \operatorname{Cov}(U, V)=0$, 得 $a^2+b^2=1, c^2+$ $d^2=1, a c+b d=0$, 所以 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵.
如果 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵, 则 $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right| \neq 0$, 所以 $(U, V)$ 服从二维正态分布, 并且 $E(U)=0$, $E(V)=0, D(U)=a^2+b^2=1, D(V)=c^2+d^2=1, \operatorname{Cov}(U, V)=a c+b d=0$, 进而 $U$ 和 $V$ 的相关系数为 0 , 故 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$.
系统推荐