设矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}, \boldsymbol{B}_{m \times s}, \boldsymbol{C}_{n \times s}$ 满足 $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B}$, 以下命题中正确的是
$ \text{A.} $ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组一定线性无关 $ \text{B.} $ 如果矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组一定线性无关 $ \text{C.} $ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组一定线性无关 $ \text{D.} $ 如果矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关, 则矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的行向量组一定线性无关
【答案】 C

【解析】 【解】由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$ 知 $r(\boldsymbol{C}) \leqslant r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}\end{array}\right)=r\left[\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{A}\end{array}\right) \boldsymbol{C}\right] \leqslant r(\boldsymbol{C})$, 故 $r(\boldsymbol{C})=r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)$.
若 $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关, 则 $r(\boldsymbol{B})=s$. 由 $r(\boldsymbol{C})=r\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{B}\end{array}\right)=s$ 知, $\boldsymbol{C}$ 的列向量组一定线性无关. 故
C 正确.
取 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$, 排除选项 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$.
取 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 可排除选项 D.
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