方程 $\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{x-i}=0$ 实根的个数为
【答案】 99

【解析】 令 $f(x)=\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{x-i}$. 因为 $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=-\infty$, 且 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内 连续且单调递减, 故 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内有且仅有一个根. 同理知, $f(x)$ 在 $(i, i+1)(i=2$, $3, \cdots, 99)$ 内均有且仅有一个根. 又因为当 $x < 1$ 时, $f(x) < 0$; 当 $x > 100$ 时, $f(x) > 0$, 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1),(100,+\infty)$ 内均无根, 故方程 $\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{x-i}=0$ 实根的个数为 99 .
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