设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k$
$ \text{A.} $ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解 $ \text{B.} $ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解 $ \text{C.} $ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解 $ \text{D.} $ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
【答案】 B

【解析】 【解】取 $k=0$, 则排除选项 $\mathrm{A}$ 和选项 $\mathrm{D}$.
对于选项 B, 假设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 有解 $\boldsymbol{\eta}_1$, 由已知设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解 $\boldsymbol{\eta}_2$. 则
$$
\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\eta}_1-k \boldsymbol{\eta}_2\right)=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}_1-k \boldsymbol{A} \boldsymbol{\eta}_2=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2-k \boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\beta}_2,
$$
此式说明 $\boldsymbol{\eta}_1-k \boldsymbol{\eta}_2$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 的解, 与已知 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解矛盾, 故方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无 解,故 B 正确.
对于选项 C, 若取 $k=1$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$, 由上述结论知其无解. 故 C不正确.
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