设有函数序列 $f_n(x)=(n+1) x^n, 0 < x < 1, n=1,2, \cdots$, 下列四个结论:(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0, x \in(0,1)$; (2) 若数列 $x_n \in(0,1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n\left(x_n\right)=0$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)=0, x \in(0,1)$; (4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=0$ 中, 正确的是 ( ).
$ \text{A.} $ (1) 和 (2) $ \text{B.} $ (3) 和 (4) $ \text{C.} $ (1) 和 (3) $ \text{D.} $ (2) 和 (4)
【答案】 C

【解析】 【解】(1) 当 $0 < x < 1$ 时, $\lim _{n \rightarrow} f_n(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) x^n=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{\mathrm{e}^{-a \ln x}}=0$, 或者级数 $\sum_{n=1} f_n(x)=$ $\sum_{n=1}(n+1) x^n$ 收敛, 所以 $\lim _{n \rightarrow} f_n(x)=0, x \in(0,1)$, 正确.
(2) 取 $x_n=1-\frac{1}{n+1} \in(0,1), n=1,2, \cdots, \lim _{n \rightarrow} f_n\left(x_n\right)=\lim _{n \rightarrow}(n+1)\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\infty$, 不正 确.
(3) $f_n^{\prime}(x)=n(n+1) x^{n-1}, 0 < x < 1, n=1,2, \cdots$, 同 (1) 中的方法可得 $\lim _{n \rightarrow} f_n^{\prime}(x)=0, x \in(0$,
1), 正确.
(4) $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1(n+1) x^n \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} 1=1 \neq 0$, 不正确.
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