若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则下列级数 (1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$; (2) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n-2 a_{n+1}\right)$; (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ 中一定收敛的个数为
$ \text{A.} $ 1 $ \text{B.} $ 2 $ \text{C.} $ 3 $ \text{D.} $ 4
【答案】 C

【解析】 【解】级数 (1) 绝对收玫; 由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}$ 收敛, 故级数 (2) 收敛; 级数 (3) 不一定收敛, 反例 $a_n=\frac{1}{n^2} ; \sqrt{a_n a_{n+1}} \leqslant \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$, 故级数 (4) 收敛.
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