单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 无穷小量 $\alpha=\frac{1}{x^a}, \beta=\frac{1}{\ln ^b x}, \gamma=\mathrm{e}^{-\alpha}$ ( $a, b, c$ 全大于零), 从低阶到 高阶正确的排序为
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$.
$\text{B.}$ $\beta, \alpha, \gamma$.
$\text{C.}$ $\alpha, \gamma, \beta$.
$\text{D.}$ $\gamma, \alpha, \beta$.
设常数 $a>0$, 若当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $\ln x \leqslant x^a$, 则
$\text{A.}$ $a \geqslant \mathrm{e}$.
$\text{B.}$ $a \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$.
$\text{C.}$ $0 < a < $ e.
$\text{D.}$ $0 < a < \frac{1}{\mathrm{e}}$.
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^n x+\cos ^n x}\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$, 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内的原 函数, 则在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内
$\text{A.}$ $F(x)$ 连续, $f(x)$ 可导.
$\text{B.}$ $F(x)$ 不连续, $f(x)$ 不可导.
$\text{C.}$ $F(x)$ 可导, $f(x)$ 可导.
$\text{D.}$ $F(x)$ 可导, $f(x)$ 不可导.
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^2} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{B.}$ $I_3>I_2>I_1$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
设 $f(x)$ 在 $(-1,1]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0, \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0) \leqslant 0$.
$\text{B.}$ $f(0)>0$.
$\text{C.}$ $f(0) \leqslant \frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $f(0)>\frac{1}{2}$.
设 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处有二阶连续偏导数, 且 $f(x, y)$ 在 $P_0$ 处取得极大 值, 则
$\text{A.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0$.
$\text{B.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) < 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) < 0$.
$\text{C.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0$.
$\text{D.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0$.
已知积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^m \arctan x}{2+x^n} \mathrm{~d} x(n \geqslant 0)$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $m>-2$ 且 $n-m>1$.
$\text{B.}$ $m>0$ 且 $n-m>1$.
$\text{C.}$ $m>0$ 且 $n-m < 1$.
$\text{D.}$ $m>-2$ 且 $n-m < 1$.
设 $n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 且 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全大于零. $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵为 $\boldsymbol{A}^*=$ $\left(A_{j i}\right)_{n \times n}$, 则以下正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=\sum_{i=1}^n a_{i j}$.
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=\sum_{i=1}^n a_{j i}$.
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=-\sum_{i=1}^n a_{j i}$.
$\text{D.}$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=-\sum_{i=1}^n a_{i j}$.
设 3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-1,-1$, $2)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 必为
$\text{A.}$ 可逆矩阵.
$\text{B.}$ 正交矩阵.
$\text{C.}$ 对称矩阵.
$\text{D.}$ 正定矩阵.
设点 $p_i\left(x_i, y_i\right)(i=1,2,3)$ 为 $x O y$ 平面上的三个不同的点, $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right)$. 则三点 $p_1, p_2, p_3$ 在同一直线上的充分必要条件是
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$.
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})=2$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x, y)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x^2+y^2} \frac{\sin \sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 1, & x^2+y^2=0, x^2+y^2 \leqslant t^2,\end{cases}$ 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^2} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $f(x-1)$ 的间断点为
设曲线的极坐标方程为 $r=\frac{1}{3 \theta-\pi}$, 则该曲线的斜渐近线方程为
设 $z=z(x, y)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}x=(t+1) \cos z, \\ y=t \sin z\end{array}\right.$ 确定, $t=t(x, y)$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设曲线 $y=\frac{x}{\sqrt{1+n x^2}}$ ( $n$ 为正整数) 与 $x=1$ 及 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周 所得体积为 $V_n$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n V_n=$
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$, 则行列式 $\left|(2 \boldsymbol{A})^{-1}-(2 \boldsymbol{A})^*\right|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{x^3} \int_1^x\left[\left(1+t^2\right) \sin \frac{1}{t}-\cos t\right] \mathrm{d} t}{1-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}$.
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1-x, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$, 计算 $I=\iint_D e^{\frac{x}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x, y)$ 的全微分为 $\mathrm{d} f(x, y)=(2 a x+b y) \mathrm{d} x+(2 b y+a x) \mathrm{d} y(a, b$ 为常数), 且 $f(0,0)=-3, f_x^{\prime}(1,1)=3$.
(I) 求 $f(x, y)$;
(II) 求点 $(-1,-1)$ 到曲线 $f(x, y)=0$ 上的点的距离的最大值.
设 $y=f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, $f^{\prime}(x) \geqslant 0(x>0), f(0)=k>0$, 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形的面积为 $A(x), y=f(x)$ 在 $[0, x]$ 上的弧长为 $s(x)$, 且 $A(x)=k s(x)$, 求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, $f(0)=0$, 且 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)}{x-1}=1$.
( I ) 证明 : 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$;
(II) 证明: 存在 $\eta \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta)=2$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为线性无关的 3 维列向量, $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$, 交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 2, 3 列, 再将第 2 列乘 (-4), 第 3 列乘 $(-1)$ 得 $\boldsymbol{C}$, 若 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}$.
( I ) 求 $\boldsymbol{B}$ 的全部特征值;
(II) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\boldsymbol{\Lambda}$.