题号:2988    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学二)
设 3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-1,-1$, $2)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 必为
$A.$ 可逆矩阵. $B.$ 正交矩阵. $C.$ 对称矩阵. $D.$ 正定矩阵.
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答案:
C

解析:

解 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是两两正交的向量, 设其对应的特征值分别为 $\lambda_1, \lambda_2$, $\lambda_3$. 将 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 单位化后, 记为 $\gamma_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3$, 令 $Q=\left(\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3\right)$, 则 $Q$ 为正交矩阵, 且
$Q^{-1} \boldsymbol{A} Q=\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\right)$, 故
$$
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q \Lambda} Q^{-1},
$$
从而 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left(Q^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda}^{\mathrm{T}} Q^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{A} Q^{-1}=\boldsymbol{A}$ (因为 $Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}$ ).
故 $A$ 为对称矩阵. $C$ 正确.
由于不能确定特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 中是否有 0 特征值, 故 $\boldsymbol{A}$ 不一定可逆, 也不一定是正交 矩阵 (正交矩阵必可逆). 又正定矩阵是可逆矩阵, 故排除 $A 、 B 、 D$.
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