设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^n x+\cos ^n x}\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$, 若 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内的原 函数, 则在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 内
A. $F(x)$ 连续, $f(x)$ 可导.
B. $F(x)$ 不连续, $f(x)$ 不可导.
C. $F(x)$ 可导, $f(x)$ 可导.
D. $F(x)$ 可导, $f(x)$ 不可导.