题号:2987    题型:单选题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学二)
设 $n$ 阶正交矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 且 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全大于零. $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵为 $\boldsymbol{A}^*=$ $\left(A_{j i}\right)_{n \times n}$, 则以下正确的是
$A.$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=\sum_{i=1}^n a_{i j}$. $B.$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=\sum_{i=1}^n a_{j i}$. $C.$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=-\sum_{i=1}^n a_{j i}$. $D.$ $\sum_{i=1}^n A_{j i}=-\sum_{i=1}^n a_{i j}$.
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答案:
B

解析:

由 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵知, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$, 故 $|\boldsymbol{A}|^2=1$. 又由 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全大于零知, $|\boldsymbol{A}| > 0$, 故 $|\boldsymbol{A}|=1$. 从而
$$
\boldsymbol{A}^*=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}},
$$
即 $A_{j i}=a_{j i}$, 故 $\sum_{i=1}^n A_{j i}=\sum_{i=1}^n a_{j i}$. B 正确.
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